Решение: Вольтамперная характеристика участка цепи
Вольтамперные характеристики газовых ламп Л1, Л2 и Л3 при достаточно больших токах хорошо описываются квадратичными зависимостями: $U_1 = \alpha I_1^2$, $U_2 = 3\alpha I_2^2$, $U_3 = 6\alpha I_3^2$, где $\alpha$ — известная размерная константа. Лампы Л2 и Л3 соединили параллельно, а лампу Л1 — последовательно с ними. Определите зависимость напряжения $U$ от силы тока $I$, текущего через весь участок цепи.
Решение по шагам
8 шаговПри параллельном соединении ламп Л2 и Л3 напряжения на них одинаковы:
$$U_2 = U_3$$Подставим в это равенство вольтамперные характеристики ламп:
$$3\alpha I_2^2 = 6\alpha I_3^2$$Отсюда для токов, текущих в одном направлении:
$$I_2 = \sqrt{2}I_3$$Общий ток участка равен току через лампу Л1 и сумме токов в параллельных ветвях:
$$I = I_1 = I_2 + I_3 = (1 + \sqrt{2})I_3$$Следовательно, ток через лампу Л3 выражается через общий ток следующим образом:
$$I_3 = \frac{I}{1 + \sqrt{2}}$$Напряжение на параллельном соединении ламп Л2 и Л3 равно:
$$U_{23} = U_3 = 6\alpha I_3^2 = \frac{6\alpha I^2}{(1 + \sqrt{2})^2}$$Для лампы Л1 ток равен общему току, поэтому:
$$U_1 = \alpha I^2$$Общее напряжение равно сумме напряжений на последовательно соединённых участках:
$$U = U_1 + U_{23} = \alpha I^2\left(1 + \frac{6}{(1 + \sqrt{2})^2}\right) = (19 - 12\sqrt{2})\alpha I^2$$$U = (19 - 12\sqrt{2})\alpha I^2$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать, что токи через лампы Л2 и Л3 одинаковы при параллельном соединении.
Складывать сопротивления или напряжения ламп Л2 и Л3 как при последовательном соединении.
Забыть, что ток через лампу Л1 равен общему току участка.
Использовать линейную зависимость напряжения от тока вместо заданных квадратичных характеристик.