Решение: Ход луча через линзу
Главная оптическая ось тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием $F = 20\ \text{см}$ и точечный источник света $S$ находятся в плоскости рисунка. Точка $S$ находится на расстоянии $b = 60\ \text{см}$ от плоскости линзы и на расстоянии $H$ от её главной оптической оси. В левой фокальной плоскости линзы лежит тонкий непрозрачный экран с маленьким отверстием $A$, находящимся в плоскости рисунка на расстоянии $h = 4\ \text{см}$ от главной оптической оси линзы. Пройдя через отверстие в экране и линзу, луч $SA$ от точечного источника пересекает её главную оптическую ось на расстоянии $x = 16\ \text{см}$ от плоскости линзы. Найдите величину $H$. Дифракцией света пренебречь. Постройте рисунок, показывающий ход луча через линзу.
Решение по шагам
7 шаговОбозначим через $y$ расстояние от главной оптической оси до точки, в которой луч падает на линзу. На участке от источника $S$ до отверстия $A$ луч проходит по прямой от координат $(-b,H)$ до $(-F,h)$.
$$y=h+\frac{F}{b}(h-H)$$После прохождения линзы луч пересекает главную оптическую ось на расстоянии $x$, поэтому его наклон после линзы равен
$$\alpha_2=-\frac{y}{x}$$Наклон луча до линзы равен $\alpha_1=\dfrac{y-H}{b}$. Для тонкой собирающей линзы изменение наклона луча определяется формулой
$$\alpha_2=\alpha_1-\frac{y}{F}$$Подставим числовые значения. Сначала выразим высоту луча у линзы:
$$y=4+\frac{20}{60}(4-H)=\frac{16-H}{3}$$Приравниваем наклон после линзы к выражению через точку пересечения с осью:
$$-\frac{y}{16}=\frac{y-H}{60}-\frac{y}{20}$$После упрощения получаем $H=\dfrac{7}{4}y$. Совместно с выражением $y=\dfrac{16-H}{3}$:
$$H=\frac{7}{4}\cdot\frac{16-H}{3}$$Решая уравнение, находим:
$$12H=7(16-H),\quad 19H=112,\quad H=\frac{112}{19}\approx5{,}9\ \text{см}$$H = \dfrac{112}{19}\ \text{см} \approx 5{,}9\ \text{см}; луч следует провести от $S$ через отверстие $A$, затем преломить в линзе так, чтобы он пересёк главную оптическую ось на расстоянии $16\ \text{см}$ справа от линзы.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно считать расстояние от источника до отверстия: оно равно $b-F=40\ \text{см}$.
Использовать расстояние $b$ вместо расстояния от источника до плоскости линзы при вычислении наклона луча.
Не учитывать изменение наклона луча при прохождении собирающей линзы.
Получить знак высоты луча после линзы без учёта того, что луч пересекает главную оптическую ось справа от линзы.