Решение: Нагрев газа при движении поршня
В вакууме закреплён горизонтальный цилиндр. В цилиндре находится гелий, запертый поршнем. Поршень массой 90 г удерживается упорами и может скользить влево вдоль стенок цилиндра без трения. В поршень попадает пуля массой 10 г, летящая горизонтально со скоростью 400 м/с, и застревает в нём. Температура гелия в момент остановки поршня в крайнем левом положении возрастает на 64 К. Чему равно количество вещества гелия в цилиндре? Считать, что за время движения поршня газ не успевает обменяться теплом с цилиндром и поршнем.
Решение по шагам
5 шаговВо время неупругого удара пули о поршень сохраняется импульс системы «пуля — поршень». Поэтому скорость поршня с застрявшей пулей сразу после удара равна
$$V = \frac{mv}{M+m}$$Подставим значения масс и скорости пули:
$$V = \frac{0{,}010 \cdot 400}{0{,}090+0{,}010}=40\ \text{м/с}$$После удара система движется влево и сжимает гелий. Теплообмена с окружающими телами нет, поэтому кинетическая энергия системы при остановке поршня превращается во внутреннюю энергию газа:
$$\Delta U = \frac{(M+m)V^2}{2}$$Для одноатомного идеального газа, которым является гелий, изменение внутренней энергии равно:
$$\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$$Приравняем выражения для изменения внутренней энергии и найдём количество вещества:
$$\frac{3}{2}nR\Delta T = \frac{(M+m)V^2}{2},\quad n=\frac{(M+m)V^2}{3R\Delta T}=\frac{0{,}100\cdot 40^2}{3\cdot 8{,}31\cdot 64}\approx 0{,}10\ \text{моль}$$Количество вещества гелия равно $0{,}10\ \text{моль}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Использовать кинетическую энергию пули до удара вместо кинетической энергии системы после неупругого удара.
Не учитывать массу поршня при вычислении скорости системы после удара.
Использовать формулу $\Delta U=nR\Delta T$ вместо формулы для одноатомного газа $\Delta U=\dfrac{3}{2}nR\Delta T$.
Считать, что энергия, потерянная при неупругом ударе, полностью передаётся газу.