Решение: Давление газа при ускорении
В вертикальном цилиндрическом сосуде с гладкими стенками под подвижным поршнем массой $10\ \text{кг}$ и площадью поперечного сечения $50\ \text{см}^2$ находится разреженный газ (см. рисунок). При движении сосуда по вертикали с ускорением, направленным вверх и равным по модулю $1\ \text{м/с}^2$, высота столба газа под поршнем постоянна и на $5\%$ меньше, чем в покоящемся сосуде. Считая температуру газа под поршнем неизменной, а наружное давление постоянным, определите внешнее давление. Масса газа под поршнем постоянна.
Решение по шагам
6 шаговОбозначим внешнее давление через $p_0$. В покоящемся сосуде условие равновесия поршня имеет вид:
$$p_1S=p_0S+mg,\qquad p_1=p_0+\frac{mg}{S}$$При движении сосуда вверх с ускорением $a$ в системе отсчёта сосуда на поршень действует дополнительная инерционная сила, поэтому эффективное ускорение равно $g+a$. Давление газа становится равным:
$$p_2=p_0+\frac{m(g+a)}{S}$$Площадь поршня переведём в единицы СИ:
$$S=50\ \text{см}^2=5\cdot10^{-3}\ \text{м}^2$$Температура и масса газа постоянны, поэтому для газа выполняется закон Бойля–Мариотта. Так как высота и объём газа уменьшились на $5\%$, то $V_2=0{,}95V_1$:
$$p_1V_1=p_2V_2\quad\Rightarrow\quad p_2\cdot0{,}95=p_1$$Подставим значения $m=10\ \text{кг}$, $g=10\ \text{м/с}^2$, $a=1\ \text{м/с}^2$ и $S=5\cdot10^{-3}\ \text{м}^2$:
$$0{,}95\left(p_0+\frac{10(10+1)}{5\cdot10^{-3}}\right)=p_0+\frac{10\cdot10}{5\cdot10^{-3}}$$Решим уравнение относительно внешнего давления:
$$0{,}95(p_0+22000)=p_0+20000;\qquad 0{,}95p_0+20900=p_0+20000;\qquad p_0=18000\ \text{Па}$$Внешнее давление равно $1{,}8\cdot10^4\ \text{Па}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать инерционную силу при переходе в систему отсчёта, связанную с сосудом.
Использовать $g-a$ вместо $g+a$ при ускорении сосуда вверх.
Забыть, что при постоянной температуре и массе газа произведение давления на объём постоянно.
Не перевести площадь поршня из квадратных сантиметров в квадратные метры.