Решение: КПД цикла на p–T диаграмме
В тепловом двигателе 1 моль одноатомного разреженного газа совершает цикл $1\text{–}2\text{–}3\text{–}4\text{–}1$, показанный на графике в координатах $p$–$T$, где $p$ — давление газа, $T$ — абсолютная температура. Температуры в точках 2 и 4 равны и превышают температуру в точке 1 в 2 раза. Определите КПД цикла.
Решение по шагам
11 шаговУчастки $1\text{–}2$ и $3\text{–}4$ изображены прямыми, проходящими через начало координат. Для идеального газа это изохоры, поскольку при постоянном объёме $p/T=\mathrm{const}$. Участки $2\text{–}3$ и $4\text{–}1$ горизонтальны, следовательно, являются изобарами.
Так как $T_2=2T_1$ и участок $1\text{–}2$ изохорный, $p_2=2p_1$. Поэтому $p_3=p_2=2p_1$, а $p_4=p_1$. На изохоре $3\text{–}4$ выполняется $p_3/T_3=p_4/T_4$.
$$\frac{2p_1}{T_3}=\frac{p_1}{2T_1},\qquad T_3=4T_1$$Обозначим объём в точке 1 через $V_1$. Из уравнения Менделеева–Клапейрона: $p_1V_1=RT_1$, так как $\nu=1$. Тогда $V_2=V_1$, $V_4=2V_1$, а $V_3=2V_1$.
Работа совершается только на изобарных участках. На участке $2\text{–}3$ газ расширяется, а на участке $4\text{–}1$ сжимается.
$$A_{23}=p_2(V_3-V_2)=2p_1V_1=2RT_1$$Работа на участке $4\text{–}1$ отрицательна:
$$A_{41}=p_4(V_1-V_4)=p_1(V_1-2V_1)=-p_1V_1=-RT_1$$Работа газа за цикл равна сумме работ на изобарных участках:
$$A_{\text{ц}}=A_{23}+A_{41}=RT_1$$Теплота подводится к газу на участках $1\text{–}2$ и $2\text{–}3$. Для одноатомного газа $\Delta U=\frac{3}{2}R\Delta T$.
На изохорном участке $1\text{–}2$ работа равна нулю, поэтому:
$$Q_{12}=\Delta U_{12}=\frac{3}{2}R(T_2-T_1)=\frac{3}{2}RT_1$$На изобарном участке $2\text{–}3$:
$$\Delta U_{23}=\frac{3}{2}R(T_3-T_2)=3RT_1,\qquad Q_{23}=\Delta U_{23}+A_{23}=5RT_1$$Общее количество теплоты, полученное рабочим телом за цикл:
$$Q_{\text{подв}}=Q_{12}+Q_{23}=\frac{13}{2}RT_1$$Коэффициент полезного действия теплового двигателя равен отношению работы цикла к подведённой теплоте.
$$\eta=\frac{A_{\text{ц}}}{Q_{\text{подв}}}=\frac{RT_1}{\frac{13}{2}RT_1}=\frac{2}{13}$$КПД цикла равен $\eta=\frac{2}{13}\approx 0{,}154$, то есть примерно $15{,}4\%$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно считать прямые $1\text{–}2$ и $3\text{–}4$ изобарами; на диаграмме $p$–$T$ они соответствуют изохорам.
Не учитывать отрицательную работу газа на участке $4\text{–}1$.
Включать в подведённую теплоту теплоту, отданную газом на участках охлаждения.
Использовать температуру $T_3=2T_1$ вместо правильного значения $T_3=4T_1$.