Решение: Диаметр светового пятна
На двойном фокусном расстоянии от тонкой собирающей линзы с оптической силой $10\ \text{дптр}$ на её главной оптической оси расположен точечный источник света. Линза вставлена в непрозрачную оправу в виде большого квадрата из картона, в центре которого сделано отверстие радиусом $5\ \text{см}$. Каков диаметр светлого пятна на экране, расположенном за линзой на расстоянии $10\ \text{см}$ от неё? Сделайте рисунок с указанием хода лучей.
Решение по шагам
5 шаговНайдём фокусное расстояние линзы по её оптической силе:
$$f = \dfrac{1}{D} = \dfrac{1}{10\ \text{дптр}} = 0{,}1\ \text{м} = 10\ \text{см}$$Источник расположен на двойном фокусном расстоянии, то есть на расстоянии $20\ \text{см}$ от линзы. Рассмотрим крайний луч, проходящий через край круглого отверстия. В плоскости линзы его высота равна радиусу отверстия $r = 5\ \text{см}$.
После линзы крайний луч продолжает идти к изображению источника, которое при расположении источника на расстоянии $2f$ находится на расстоянии $2f = 20\ \text{см}$ за линзой. На расстоянии $10\ \text{см}$ за линзой луч имеет высоту, найденную из подобия треугольников:
$$R = r\left(1 + \dfrac{10}{20}\right) = 5\cdot 1{,}5 = 7{,}5\ \text{см}$$Симметричный крайний луч образует нижнюю границу пятна. Поэтому радиус светлого пятна равен $7{,}5\ \text{см}$, а его диаметр:
$$d = 2R = 2\cdot 7{,}5 = 15\ \text{см}$$На рисунке нужно показать точечный источник на главной оптической оси слева от линзы, два крайних луча, проходящих через края отверстия радиусом $5\ \text{см}$, и их пересечение в точке изображения на расстоянии $20\ \text{см}$ за линзой. Экран располагается между линзой и изображением, на расстоянии $10\ \text{см}$ от линзы.
Диаметр светлого пятна равен $15\ \text{см}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют диаметр отверстия $5\ \text{см}$ вместо его радиуса.
Считают, что пятно на экране имеет диаметр, равный диаметру отверстия, не учитывая расхождение лучей после линзы.
Ошибочно помещают изображение источника на расстоянии $f$, хотя источник расположен на расстоянии $2f$.
Не показывают на рисунке крайние лучи, ограничивающие светлое пятно.