Решение: Равновесие наклонного стержня
Тонкий однородный стержень $AB$ постоянного сечения шарнирно закреплён в точке $A$ и удерживается горизонтальной нитью $BC$ (см. рисунок). Угол наклона стержня к горизонту $\alpha = 60^\circ$. Трение в шарнире пренебрежимо мало. Найдите массу стержня $m$, если модуль силы $\vec F$, с которой шарнир действует на стержень, равен $15\ \text{Н}$. Сделайте рисунок, на котором укажите все силы, действующие на стержень. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Решение по шагам
7 шаговНа стержень действуют сила тяжести $mg$, приложенная в его середине, сила натяжения нити $T$, направленная горизонтально влево, и сила реакции шарнира $\vec F$.
Стержень покоится, поэтому применимы условия равновесия твёрдого тела в инерциальной системе отсчёта: равенство нулю суммы сил и суммы моментов сил.
Запишем равенство моментов относительно точки $A$. Плечо силы натяжения равно $l\sin\alpha$, а плечо силы тяжести равно $\dfrac{l}{2}\cos\alpha$.
$$T l\sin\alpha = mg\dfrac{l}{2}\cos\alpha$$Отсюда сила натяжения выражается через вес стержня:
$$T = \dfrac{mg}{2}\cot\alpha = \dfrac{mg}{2\sqrt{3}}$$Из равновесия по горизонтали и вертикали следует, что горизонтальная составляющая силы шарнира равна $T$, а вертикальная составляющая по модулю равна $mg$. Поэтому:
$$F^2 = T^2 + (mg)^2$$Подставим выражение для $T$ и значение силы шарнира:
$$15^2 = (mg)^2\left(1+\dfrac{1}{12}\right) = (mg)^2\dfrac{13}{12}$$Следовательно, $mg = 15\sqrt{\dfrac{12}{13}}\ \text{Н}$, а при $g = 10\ \text{Н/кг}$ масса стержня равна:
$$m = \dfrac{15}{10}\sqrt{\dfrac{12}{13}} \approx 1{,}44\ \text{кг}$$m \approx 1{,}44\ \text{кг}
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают силу реакции шарнира или считают её равной только одной составляющей.
Берут плечо силы тяжести равным длине стержня вместо $\dfrac{l}{2}\cos\alpha$.
Не учитывают, что сила натяжения нити направлена горизонтально.
Записывают момент силы тяжести с неправильным плечом или неверным знаком.