Шешімі: Уравнение с параметром и модулями
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $(4x-3|x+a^2|+|x-1|+3a^2)^2-(a+1)(4x-3|x+a^2|+|x-1|+3a^2)+4=0$ имеет ровно два различных корня.
Шешім по шагам
7 қадамВведём обозначение $y=4x-3|x+a^2|+|x-1|+3a^2$. Тогда исходное уравнение принимает вид
$$y^2-(a+1)y+4=0$$Исследуем зависимость $y$ от $x$. Так как $a^2\geq 0$, имеем $-a^2\leq 1$. При $x\leq -a^2$ выражение равно $6x+6a^2+1$, при $-a^2\leq x\leq 1$ — $1$, а при $x\geq 1$ — $2x-1$.
$$y(x)=\begin{cases}6x+6a^2+1,&x\leq-a^2,\\1,&-a^2\leq x\leq1,\\2x-1,&x\geq1.\end{cases}$$Следовательно, каждое значение $y<1-6a^2$ и каждое значение $y>1$ достигается ровно при одном значении $x$, значение $y=1$ достигается при бесконечном числе значений $x$, а значения из интервала $(1-6a^2;1)$ не достигаются.
$$y\in(-\infty,1-6a^2]\cup\{1\}\cup(1,+\infty)$$Для существования двух действительных значений $y$ необходимо $(a+1)^2-16\geq0$, то есть $a\leq-5$ или $a\geq3$.
$$(a+1)^2-16\geq0$$При $a\leq-5$ оба корня квадратного уравнения по $y$ отрицательны, но число $1-6a^2$ значительно меньше обоих корней. Поэтому корни попадают в интервал $(1-6a^2;1)$ и не дают корней по $x$.
$$1-6a^2<y_1\leq y_2<1$$Рассмотрим $a\geq3$. Оба корня по $y$ положительны. Чтобы оба лежали правее единицы, меньший корень должен быть больше $1$. Для квадратного трёхчлена $y^2-(a+1)y+4$ это эквивалентно условию $a+1>5$, то есть $a>4$. При $a=4$ меньший корень равен $1$, что приводит к бесконечному числу корней по $x$ и не подходит.
$$y_-=\frac{a+1-\sqrt{(a+1)^2-16}}{2}>1\Longleftrightarrow a>4$$При $a>4$ оба значения $y$ больше $1$, и каждое из них достигается ровно при одном значении $x$. Поэтому исходное уравнение имеет ровно два различных корня.
Все значения параметра: $a\in(4,+\infty)$.
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать, что значение $y=1$ достигается на целом отрезке и даёт бесконечно много корней по $x$.
Проверять только наличие двух корней квадратного уравнения по $y$, не исследуя область значений выражения с модулями.
Включать $a=4$, хотя при этом один из корней по $y$ равен $1$.
Забывать проверить ветвь $a\leq-5$.