Решение: Тригонометрическое уравнение на отрезке
Решите уравнение $\cos^2 x + \sin^2\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}$. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[5\pi; 6\pi]$.
Решение по шагам
10 шаговПрименим формулы понижения степени к квадратам синуса и косинуса:
$$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2},\quad \sin^2\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1 - \cos\left(2x - \frac{\pi}{2}\right)}{2} = \frac{1 - \sin 2x}{2}$$Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$$\frac{1 + \cos 2x}{2} + \frac{1 - \sin 2x}{2} = \frac{1}{2}$$После упрощения получаем:
$$\cos 2x - \sin 2x = -1$$Преобразуем левую часть по формуле косинуса суммы:
$$\sqrt{2}\cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = -1$$Следовательно, возможны два случая:
$$2x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \quad \text{или} \quad 2x + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}$$Решая эти уравнения относительно $x$, получаем общее решение:
$$x = \frac{\pi}{4} + \pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi k,\quad k \in \mathbb{Z}$$Для первой серии корней условие принадлежности отрезку имеет вид:
$$5\pi \leq \frac{\pi}{4} + \pi k \leq 6\pi \quad \Rightarrow \quad \frac{19}{4} \leq k \leq \frac{23}{4}$$Из целых значений подходит $k = 5$, поэтому получаем корень $x = \frac{21\pi}{4}$.
Для второй серии корней:
$$5\pi \leq \frac{\pi}{2} + \pi k \leq 6\pi \quad \Rightarrow \quad \frac{9}{2} \leq k \leq \frac{11}{2}$$Из целых значений подходит $k = 5$, поэтому получаем корень $x = \frac{11\pi}{2}$.
Общее решение: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$ или $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. На отрезке $[5\pi; 6\pi]$: $x = \frac{21\pi}{4}$ и $x = \frac{11\pi}{2}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно преобразуют $\sin^2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ и получают неправильный знак перед $\sin 2x$.
Теряют одну из двух серий решений уравнения с косинусом.
Неправильно определяют целые значения параметра $k$ при проверке принадлежности отрезку.
Не указывают общее решение и приводят только корни на заданном отрезке.