Решение: Кредит с равными выплатами
15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 900 тысяч рублей на 11 месяцев. 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца, а со 2-го по 14-е число каждого месяца выплачивается часть долга. 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. 15-го числа 10-го месяца долг составит 200 тысяч рублей, а к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите $r$, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1021 тысячу рублей.
Решение по шагам
10 шаговПусть $D_k$ — долг на 15-е число $k$-го месяца после получения кредита, в тысячах рублей. Тогда $D_0=900$, а $D_{10}=200$.
За первые 10 месяцев долг уменьшается на одну и ту же величину:
$$d=\frac{900-200}{10}=70$$Следовательно, долги на 15-е число месяцев образуют арифметическую прогрессию: $D_k=900-70k$. Поэтому $D_1=830$, а $D_{11}=0$.
Обозначим множитель увеличения долга за месяц через $q=1+\dfrac{r}{100}$. Выплата в $k$-м месяце равна $qD_{k-1}-D_k$.
Сумма всех выплат равна:
$$\sum_{k=1}^{11}(qD_{k-1}-D_k)=q\sum_{k=0}^{10}D_k-\sum_{k=1}^{11}D_k$$Вычислим суммы членов арифметических прогрессий:
$$\sum_{k=0}^{10}D_k=\frac{(900+200)\cdot11}{2}=6050$$Так как $D_1=830$, $D_{10}=200$, $D_{11}=0$, получаем:
$$\sum_{k=1}^{11}D_k=\frac{(830+200)\cdot10}{2}=5150$$По условию общая сумма выплат равна 1021 тысяче рублей:
$$6050q-5150=1021$$Отсюда:
$$6050q=6171,\quad q=1{,}02$$Следовательно, $1+\dfrac{r}{100}=1{,}02$, поэтому:
$$\frac{r}{100}=0{,}02,\quad r=2$$$r=2\%$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают начисление процентов перед выплатой каждого месяца.
Считают долг на 15-е число 11-го месяца равным 200 тысячам рублей вместо нуля.
Используют неверное число членов арифметической прогрессии при вычислении сумм.