Решение: Параметр и число корней
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $(x-1)a^2-(x^3-2x^2+3x-2)a-x^4+3x^3-2x^2=0$ имеет ровно два различных корня.
Решение по шагам
10 шаговСгруппируем слагаемые и разложим левую часть на множители:
$$(x-1)\left(a^2-(x^2-x+2)a-x^2(x-2)\right)=0$$Следовательно, $x=1$ является корнем исходного уравнения при любом значении $a$. Обозначим второй множитель через $Q(x)$ и умножим его на $-1$, не изменяя его корней:
$$Q(x)=x^3+(a-2)x^2-ax-a^2+2a$$Дискриминант кубического многочлена $Q(x)$ равен:
$$\Delta=4a(a-1)^2(a-4)^2$$Если $a<0$, то $\Delta<0$, поэтому уравнение $Q(x)=0$ имеет ровно один действительный корень. Он не равен $1$, поскольку $Q(1)=-(a-1)^2\ne0$. Вместе с корнем $x=1$ получаем ровно два различных корня исходного уравнения.
$$a<0$$При $a>0$, $a\ne1,4$, имеем $\Delta>0$, поэтому $Q(x)=0$ имеет три различных действительных корня. Значит, исходное уравнение имеет не менее трёх различных корней.
Проверим значения, при которых дискриминант равен нулю. При $a=0$ получаем:
$$Q(x)=x^3-2x^2=x^2(x-2)$$При $a=0$ корни исходного уравнения имеют вид $x=0$, $x=1$, $x=2$, то есть различных корней три.
При $a=4$ кубический многочлен имеет два различных действительных корня, ни один из которых не равен $1$, поскольку $Q(1)=-(4-1)^2\ne0$. Поэтому вместе с корнем $x=1$ получается три различных корня.
При $a=1$ имеем:
$$Q(x)=x^3-x^2-x+1=(x-1)^2(x+1)$$В этом случае корни исходного уравнения — $x=1$ и $x=-1$, то есть ровно два различных корня.
a\in(-\infty,0)\cup\{1\}
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать, что $x=1$ является корнем исходного уравнения при любом $a$.
Считать кратные корни различными.
Не проверять отдельно значения $a=0$, $a=1$ и $a=4$, при которых дискриминант кубического многочлена равен нулю.
Делать вывод только по знаку дискриминанта, не проверяя совпадение корня с $x=1$.