Решение: Числа с общим остатком
На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30 033.
а) Может ли среди записанных на доске чисел быть число 303?
б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 31?
в) Отношение двух записанных на доске чисел является квадратом натурального числа $n$. Найдите наименьшее возможное значение $n$.
Решение по шагам
8 шаговПусть $a$ и $b$ — любые два записанных числа. Выберем ещё $k-1$ чисел, где $k\in\{3,4,5,6\}$. Средние арифметические набора, содержащего $a$, и набора, содержащего $b$, являются целыми, поэтому суммы обоих наборов делятся на $k$. Их разность равна $a-b$, следовательно, $a-b$ делится на $k$.
Таким образом, любые два записанных числа сравнимы по модулю $3$, $4$, $5$ и $6$. Поэтому они сравнимы по модулю $\operatorname{lcm}(3,4,5,6)=60$.
Так как одно из чисел равно $30\,033$, все записанные числа имеют остаток $30\,033\equiv33\pmod{60}$.
Число $303$ имеет остаток $3$ при делении на $60$, поэтому оно не может быть записано на доске.
Если отношение двух чисел равно $31$, то одно из них имеет вид $31a$, а другое — $a$. Поскольку $a\equiv33\pmod{60}$, получаем $31a\equiv31\cdot33\equiv3\pmod{60}$, что противоречит требованию остатка $33$. Поэтому такое отношение невозможно.
Пусть отношение двух чисел равно $n^2$. Оба числа имеют остаток $33$ по модулю $60$, поэтому необходимо $n^2\cdot33\equiv33\pmod{60}$. После сокращения на $3$ получаем $n^2\equiv1\pmod{20}$.
Проверка натуральных чисел $n>1$ показывает: $2^2\equiv4$, $3^2\equiv9$, $4^2\equiv16$, $5^2\equiv5$, $6^2\equiv16$, $7^2\equiv9$, $8^2\equiv4$, а $9^2\equiv1\pmod{20}$. Значит, наименьшее возможное значение — $n=9$.
Возможность реализуется, например, числами $30\,033$ и $81\cdot30\,033$: оба имеют остаток $33$ по модулю $60$, а их отношение равно $81=9^2$. Ещё восемь различных натуральных чисел с остатком $33$ по модулю $60$ можно добавить произвольно.
а) Нет. б) Нет. в) $n=9$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать, что из условия следует делимость каждого отдельного числа на $3$, $4$, $5$ или $6$.
Использовать модуль $3\cdot4\cdot5\cdot6=360$ вместо наименьшего общего кратного $60$.
Не доказать возможность достижения значения $n=9$ примером.
Забыть, что отношение может быть образовано большим числом и меньшим, но оба числа всё равно должны иметь остаток $33$ по модулю $60$.