Шешімі: Корни уравнения с параметром
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $x^4-x^3-3x^2-x+a(x+1)=3x^3-3x^2-9x-3+3a(x+1)$ имеет ровно два различных корня.
Шешім по шагам
8 қадамПеренесём все слагаемые в левую часть и приведём подобные:
$$x^4-4x^3+8x+3-2a(x+1)=0$$Многочлен раскладывается на множители, поскольку $x=-1$ является корнем при любом $a$:
$$(x+1)(x^3-5x^2+5x+3-2a)=0$$Корень $x=-1$ существует при любом значении параметра. Поэтому необходимо исследовать число различных действительных корней уравнения $f(x)=2a$, где $f(x)=x^3-5x^2+5x+3$.
Найдём критические точки функции:
$$f'(x)=3x^2-10x+5=0,\qquad x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{10}}{3}$$Значения функции в критических точках равны:
$$f\left(\frac{5-\sqrt{10}}{3}\right)=\frac{-56+20\sqrt{10}}{27},\qquad f\left(\frac{5+\sqrt{10}}{3}\right)=\frac{-56-20\sqrt{10}}{27}$$Кубическое уравнение имеет ровно три различных действительных корня при строгом выполнении неравенства:
$$\frac{-56-20\sqrt{10}}{27}<2a<\frac{-56+20\sqrt{10}}{27}$$Следовательно, чтобы вместе с постоянным корнем $x=-1$ получилось ровно два различных корня, кубическое уравнение должно иметь ровно один действительный корень. Это выполняется при значениях параметра вне замкнутого промежутка:
$$a\leq\frac{-28-10\sqrt{10}}{27}\quad\text{или}\quad a\geq\frac{-28+10\sqrt{10}}{27}$$Нужно исключить $a=-4$, поскольку в этом случае $x=-1$ является корнем и кубического множителя, поэтому всего имеется только один различный действительный корень. Действительно:
$$x^3-5x^2+5x+3-2(-4)=x^3-5x^2+5x+11$$a\in\left(-\infty,\frac{-28-10\sqrt{10}}{27}\right]\cup\left[\frac{-28+10\sqrt{10}}{27},+\infty\right)\setminus\{-4\}
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать постоянный корень $x=-1$.
Включить значения параметра, при которых кубический множитель имеет два или три различных действительных корня.
Не исключить $a=-4$, при котором корень $x=-1$ совпадает с корнем кубического множителя.
Перепутать значения максимума и минимума функции в критических точках.