Шешімі: Система с параметром
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений
$$
\begin{cases}
(x^2+y^2+4x)\sqrt{2x+y+6}=0,\\
y=x+a
\end{cases}
$$
имеет ровно два различных решения.
Шешім по шагам
8 қадамПодставим $y=x+a$ в систему. Тогда условие существования корня требует $3x+a+6\ge 0$, то есть $x\ge x_0$, где $x_0=-\dfrac{a+6}{3}$.
$$3x+a+6\ge 0$$Произведение равно нулю в двух случаях. При равенстве нулю первого множителя получаем квадратное уравнение:
$$x^2+(x+a)^2+4x=0\Longleftrightarrow 2x^2+(2a+4)x+a^2=0$$При равенстве нулю корня получаем отдельное решение с абсциссой $x_0=-\dfrac{a+6}{3}$. Оно совпадает с корнем квадратного уравнения тогда и только тогда, когда значение квадратного трехчлена в точке $x_0$ равно нулю.
$$q(x_0)=2x_0^2+(2a+4)x_0+a^2=\frac{a(5a-24)}{9}$$Квадратное уравнение имеет действительные корни при неотрицательном дискриминанте:
$$D=(2a+4)^2-8a^2=-4(a^2-4a-4)\ge 0\Longleftrightarrow 2-2\sqrt2\le a\le 2+2\sqrt2$$При $a<0$ значение $q(x_0)>0$, а точка $x_0$ находится левее вершины параболы, поэтому оба корня квадратного уравнения удовлетворяют ограничению $x\ge x_0$. Вместе с отдельным решением это дает три различных решения.
При $0<a<\dfrac{24}{5}$ имеем $q(x_0)<0$. Точка $x_0$ расположена между двумя корнями, поэтому допустим ровно один корень квадратного уравнения. Вместе с решением из условия $3x+a+6=0$ получаем ровно два решения.
При $a=0$ и $a=\dfrac{24}{5}$ отдельное решение совпадает с одним из корней квадратного уравнения, а второй корень остается допустимым. Поэтому в каждом из этих случаев имеется ровно два различных решения.
При $\dfrac{24}{5}<a\le 2+2\sqrt2$ оба корня квадратного уравнения допустимы и не совпадают с отдельным решением, поэтому решений три. При остальных значениях $a$ квадратное уравнение не имеет нужного числа действительных корней.
Все значения параметра: $a\in\left[0;\dfrac{24}{5}\right]$.
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничение подкоренного выражения $3x+a+6\ge 0$.
Считать решение из случая $3x+a+6=0$ дополнительным, не проверяя совпадение с корнями квадратного уравнения.
Исследовать только дискриминант и не проверять число допустимых корней.