Решение: Сечение прямоугольного параллелепипеда
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны длины рёбер: $AB=2\sqrt{2}$, $AD=6$, $AA_1=10$. На рёбрах $AA_1$ и $BB_1$ отмечены точки $E$ и $F$ соответственно, причём $A_1E:EA=3:2$ и $B_1F:FB=3:7$. Точка $T$ — середина ребра $B_1C_1$.
а) Докажите, что плоскость $EFT$ проходит через точку $D_1$.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью $EFT$.
Решение по шагам
9 шаговВведём прямоугольную систему координат: $A=(0,0,0)$, ось $Ox$ направим вдоль $AB$, ось $Oy$ — вдоль $AD$, ось $Oz$ — вдоль $AA_1$. Обозначим $b=2\sqrt{2}$.
$$B=(b,0,0),\quad D=(0,6,0),\quad A_1=(0,0,10),\quad D_1=(0,6,10)$$Из отношения $A_1E:EA=3:2$ следует, что $A_1E=6$, $EA=4$. Из отношения $B_1F:FB=3:7$ следует, что $B_1F=3$, $FB=7$.
$$E=(0,0,4),\quad F=(b,0,7)$$Так как $T$ — середина ребра $B_1C_1$, его координаты равны средним арифметическим координат точек $B_1=(b,0,10)$ и $C_1=(b,6,10)$.
$$T=(b,3,10)$$Для плоскости через точки $E$, $F$ и $D_1$ возьмём направляющие векторы $\overrightarrow{EF}=(b,0,3)$ и $\overrightarrow{ED_1}=(0,6,6)$. Нормаль к плоскости пропорциональна вектору $(-3,-b,b)$, поэтому уравнение плоскости имеет вид:
$$3x+by-bz+4b=0$$Проверим точку $T$: при $T=(b,3,10)$ левая часть уравнения равна $3b+3b-10b+4b=0$. Значит, точка $T$ принадлежит плоскости $ED_1F$. Следовательно, плоскость $EFT$ проходит через точку $D_1$.
Плоскость пересекает границу параллелепипеда по четырёхугольнику $EFTD_1$. Найдём площади двух треугольников, на которые его делит диагональ $ET$.
$$\overrightarrow{EF}=(b,0,3),\quad \overrightarrow{ET}=(b,3,6),\quad \overrightarrow{ED_1}=(0,6,6)$$Площадь треугольника $EFT$ равна половине модуля векторного произведения $\overrightarrow{EF}\times\overrightarrow{ET}$.
$$\left|\overrightarrow{EF}\times\overrightarrow{ET}\right|=15,\quad S_{EFT}=\frac{15}{2}$$Площадь треугольника $ETD_1$ равна половине модуля векторного произведения $\overrightarrow{ET}\times\overrightarrow{ED_1}$.
$$\left|\overrightarrow{ET}\times\overrightarrow{ED_1}\right|=30,\quad S_{ETD_1}=15$$Складываем площади двух треугольников.
$$S_{EFTD_1}=S_{EFT}+S_{ETD_1}=\frac{15}{2}+15=\frac{45}{2}$$Площадь сечения равна $\dfrac{45}{2}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно определяют расстояния от точек $E$ и $F$ до оснований параллелепипеда по данным отношениям.
Забывают, что точка $T$ является серединой ребра $B_1C_1$, поэтому её координата по оси $Oy$ равна $3$.
Рассматривают сечение как треугольник и не включают в него точку $D_1$.
При вычислении площади четырёхугольника используют только одну из двух частей, на которые его разделяет диагональ $ET$.