Решение: Удачные тройки чисел
Тройку различных натуральных чисел назовём удачной, если любое число в ней хотя бы на 5 больше, чем треть суммы двух других чисел. Например, 40, 45, 50 — удачная тройка.
Решите пункты а), б) и в), приведя необходимые рассуждения и обоснования.
Решение по шагам
9 шаговПусть $a<b<c$ — числа тройки. Для наименьшего числа условие имеет вид $a\ge\dfrac{b+c}{3}+5$, то есть $3a\ge b+c+15$. Для двух остальных чисел это условие автоматически слабее, поскольку они больше $a$.
$$3a\ge b+c+15$$а) Для тройки $50,60,n$, где $n>60$, получаем $3\cdot50\ge60+n+15$. Следовательно, $n\le75$. Поэтому $n$ может принимать значения от 61 до 75 включительно.
$$150\ge60+n+15\quad\Longrightarrow\quad n\le75$$Количество таких значений равно $75-61+1=15$.
б) Если 15 — наименьшее число тройки, то два других различных натуральных числа не меньше 16 и 17. Тогда условие для числа 15 требует $3\cdot15\ge16+17+15$, что неверно. Если 15 не является наименьшим числом, то наименьшее число ещё меньше, и условие также невозможно.
$$45<48$$Следовательно, удачной тройки, содержащей число 15, не существует.
в) Пусть $m$ — наименьшее число, использованное в круговой расстановке. Два его соседа различны и больше $m$, поэтому их сумма не меньше $(m+1)+(m+2)$. Для тройки, содержащей $m$ и его соседей, должно выполняться $3m\ge(m+1)+(m+2)+15$, откуда $m\ge18$.
$$3m\ge(m+1)+(m+2)+15\quad\Longrightarrow\quad m\ge18$$Значит, можно использовать не более чисел от 18 до 100 включительно, то есть не более $100-18+1=83$ чисел.
Эта граница достигается расстановкой: сначала выписать чётные числа по возрастанию от 18 до 100, затем нечётные числа по убыванию от 99 до 19: $18,20,22,\ldots,100,99,97,\ldots,21,19$.
В каждой тройке подряд наименьшее число $x$ имеет двух соседей, сумма которых не превосходит $3x-15$. В наиболее критической тройке $19,18,20$ получаем равенство $57=19+18+20+0$ в эквивалентной форме $3\cdot18=19+20+15$. Для остальных троек запас не меньше. Поэтому все тройки являются удачными.
а) 15; б) нет; в) 83.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Проверяют только одно из чисел тройки, не обосновав, почему достаточно проверить наименьшее.
В пункте а) считают значения от 60 до 75, хотя третье число должно быть больше 60.
В пункте б) допускают число 15 в качестве не наименьшего, не учитывая, что тогда наименьшее число ещё меньше.
В пункте в) не проверяют тройки, проходящие через границу между концом и началом круговой расстановки.
Приводят расстановку из 83 чисел без доказательства, что все тройки подряд являются удачными.