Решение: Уравнение с параметром
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $\sqrt{x^4-4x^2+9a^2}=x^2+2x-3a$ имеет ровно 3 решения.
Решение по шагам
8 шаговТак как левая часть исходного уравнения неотрицательна, необходимо учитывать условие $x^2+2x-3a\geq 0$. Возведём уравнение в квадрат:
$$x^4-4x^2+9a^2=(x^2+2x-3a)^2$$Раскрывая скобки и перенося все слагаемые в одну сторону, получаем:
$$-4x^3+(6a-8)x^2+12ax=0$$Разложим выражение на множители:
$$-2x\left(2x^2+(4-3a)x-6a\right)=0$$Квадратный трёхчлен раскладывается следующим образом:
$$2x^2+(4-3a)x-6a=2(x+2)\left(x-\frac{3a}{2}\right)$$Возможные корни уравнения: $x=0$, $x=-2$ и $x=\dfrac{3a}{2}$. Проверим условие $x^2+2x-3a\geq 0$.
$$x=0:\ -3a\geq 0\Longleftrightarrow a\leq 0$$Для корня $x=-2$ условие имеет тот же вид:
$$(-2)^2+2(-2)-3a=-3a\geq 0\Longleftrightarrow a\leq 0$$Для корня $x=\dfrac{3a}{2}$ получаем:
$$\left(\frac{3a}{2}\right)^2+2\cdot\frac{3a}{2}-3a=\frac{9a^2}{4}\geq 0$$При $a<0$ все три корня допустимы. Они должны быть различными. Равенство $\dfrac{3a}{2}=-2$ даёт $a=-\dfrac{4}{3}$, а равенство $\dfrac{3a}{2}=0$ даёт $a=0$. При этих значениях число различных корней меньше трёх.
$a\in(-\infty,-\frac{4}{3})\cup(-\frac{4}{3},0)$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
После возведения в квадрат не проверяют неотрицательность правой части исходного уравнения.
Считают совпадающие корни различными.
Включают значение $a=0$, при котором корни $x=0$ и $x=\dfrac{3a}{2}$ совпадают.
Включают значение $a=-\dfrac{4}{3}$, при котором корни $x=-2$ и $x=\dfrac{3a}{2}$ совпадают.