Решение: Логарифмическое неравенство
Решите неравенство $7\log_{12}(x^2-13x+42)\le 8+\log_{12}\left(\dfrac{(x-7)^7}{x-6}\right)$.
Решение по шагам
7 шаговНайдём область допустимых значений. Аргументы логарифмов должны быть положительными:
$$x^2-13x+42=(x-6)(x-7)>0,\qquad \dfrac{(x-7)^7}{x-6}>0$$Оба условия выполняются при $x<6$ или $x>7$.
$$x\in(-\infty,6)\cup(7,+\infty)$$Перенесём логарифм в левую часть и объединим логарифмы:
$$7\log_{12}((x-6)(x-7))-\log_{12}\left(\dfrac{(x-7)^7}{x-6}\right)\le 8$$Используя свойства логарифмов, получаем:
$$\log_{12}\left(\dfrac{((x-6)(x-7))^7}{(x-7)^7/(x-6)}\right)\le 8$$На ОДЗ можно сократить ненулевой множитель $(x-7)^7$:
$$\log_{12}(x-6)^8\le 8$$Так как основание $12>1$, функция логарифма возрастает:
$$(x-6)^8\le 12^8\quad\Longleftrightarrow\quad |x-6|\le 12$$Следовательно, $-6\le x\le18$. Пересекаем этот отрезок с ОДЗ $(-\infty,6)\cup(7,+\infty)$.
$$x\in[-6,6)\cup(7,18]$$Ответ: $[-6;6)\cup(7;18]$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают область допустимых значений логарифмов.
Включают точку $x=6$, где выражение не определено.
Включают точку $x=7$, где аргументы логарифмов не являются положительными.
Забывают, что основание логарифма $12>1$, поэтому знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется.