Последовательности сумм и количеств
В течение $n$ дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше $6$. При этом каждый день, кроме первого, сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество чисел меньше, чем в предыдущий день.
а) Может ли $n$ быть больше $5$? б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше $3$, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше $4$? в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна $6$. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем а) Может ли быть больше 5? б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 3, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4? в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 6. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни? | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Обозначьте через $k_i$ количество чисел, записанных в $i$-й день, а через $S_i$ — их сумму. Какие неравенства связывают $S_i$ и $k_i$?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Так как каждое число не превосходит $5$, выполняется $S_i \leq 5k_i$. Количества $k_i$ убывают, а суммы $S_i$ возрастают.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Для пункта а) можно взять $k_i=m+n-i$ и $S_i=m+n-1+i$, выбрав достаточно большое $m$. Для пункта в) переберите возможные значения $k_1\leq 6$ и используйте ограничения $S_i\leq 5k_i$ и $S_i>S_{i-1}$.