Решение: Подобие треугольников в равностороннем треугольнике
На стороне $AC$ равностороннего треугольника $ABC$ отмечена точка $M$. Серединный перпендикуляр к отрезку $BM$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $K$ соответственно.
Докажите, что треугольники $AEM$ и $CMK$ подобны. Найдите отношение $AM:MC$, если площади треугольников $AEM$ и $CMK$ равны $4$ и $9$ соответственно.
Решение по шагам
10 шаговТак как точка $E$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BM$, она равноудалена от его концов:
$$EB=EM$$Треугольник $EBM$ равнобедренный. Поскольку $E\in AB$, угол $EBM$ равен углу $ABM$, то есть $60^\circ$. Следовательно, $\angle BME=60^\circ$ и $\angle BEM=60^\circ$.
Луч $EA$ противоположен лучу $EB$, поэтому:
$$\angle AEM=180^\circ-\angle BEM=120^\circ$$Аналогично, точка $K$ лежит на серединном перпендикуляре к $BM$, поэтому $KB=KM$. Треугольник $KBM$ равнобедренный, а $\angle KBM=\angle CBM=60^\circ$. Значит, $\angle BKM=60^\circ$.
Луч $KC$ противоположен лучу $KB$, поэтому:
$$\angle CKM=180^\circ-\angle BKM=120^\circ$$Так как $ABC$ равносторонний, углы при вершинах $A$ и $C$ равны $60^\circ$:
$$\angle EAM=\angle MCK=60^\circ$$В треугольниках $AEM$ и $CMK$ равны две пары углов: $\angle EAM=\angle MCK$ и $\angle AEM=\angle CKM$. Следовательно, треугольники подобны по двум углам, причём вершине $A$ соответствует вершина $C$, а вершине $M$ — вершина $M$.
Соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны. Поэтому отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия:
$$\frac{S_{AEM}}{S_{CMK}}=\left(\frac{AM}{CM}\right)^2$$Подставим площади треугольников:
$$\frac{4}{9}=\left(\frac{AM}{MC}\right)^2$$Длины отрезков положительны, поэтому берём положительный корень:
$$\frac{AM}{MC}=\frac{2}{3}$$Треугольники $AEM$ и $CMK$ подобны по двум углам; $AM:MC=2:3$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно сопоставляют вершины подобных треугольников и получают обратное отношение.
Используют отношение площадей как отношение соответствующих сторон без извлечения квадратного корня.
Не учитывают, что лучи $EA$ и $EB$, а также $KC$ и $KB$ являются противоположными.