Решение: Система неравенств с параметром
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система неравенств
\[
\begin{cases}
a(x-1) \ge 4,\\
2\sqrt{x-2} \ge a,\\
3x < a+14
\end{cases}
\]
имеет хотя бы одно решение на отрезке $[4;5]$.
Решение по шагам
7 шаговНа отрезке $[4;5]$ имеем $x-1>0$, поэтому первое неравенство равносильно условию
$$a \ge \frac{4}{x-1}$$Остальные неравенства задают ограничения
$$a \le 2\sqrt{x-2},\qquad a>3x-14$$Сравним нижние границы для параметра. Решим уравнение их равенства:
$$\frac{4}{x-1}=3x-14 \Longleftrightarrow 3x^2-17x+10=0 \Longleftrightarrow x=\frac{2}{3}\ или\ x=5$$На отрезке $[4;5]$ функция $\dfrac{4}{x-1}$ не меньше функции $3x-14$, причём равенство достигается только при $x=5$. Поэтому для $x<5$ третье неравенство автоматически выполняется при условии $a\ge\dfrac{4}{x-1}$.
При $x=5$ первое и третье неравенства дают соответственно $a\ge1$ и $a>1$, поэтому значение $a=1$ не подходит. При этом для любого $a>1$ можно выбрать $x$, достаточно близкое к $5$, чтобы выполнялось $\dfrac{4}{x-1}\le a$.
Верхняя граница определяется неравенством $a\le2\sqrt{x-2}$. На отрезке $[4;5]$ правая часть возрастает и принимает максимальное значение при $x=5$:
$$a\le 2\sqrt{5-2}=2\sqrt{3}$$Для каждого $a$ из интервала $1<a\le2\sqrt3$ можно подобрать $x\in[4;5]$, достаточно близкое к $5$, так что все три неравенства выполняются.
$a\in(1;2\sqrt{3}]$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Включают значение $a=1$, не учитывая строгое неравенство $3x<a+14$.
Заменяют неравенство $a\le2\sqrt{x-2}$ на условие с неверным знаком.
Не проверяют, что для каждого найденного значения $a$ существует хотя бы одно $x\in[4;5]$.