Решение: Письма юношей и девушек
В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 5 писем, или 16 писем, причём и тех и других юношей было не меньше двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.
а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?
б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в) Пусть все девушки получили попарно различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?
Решение по шагам
10 шаговПусть в группе $n$ юношей и $n$ девушек. Обозначим через $x$ число юношей, отправивших по 5 писем. Тогда $n-x$ юношей отправили по 16 писем. По условию $x\geqslant2$ и $n-x\geqslant2$.
$$S=5x+16(n-x)=16n-11x$$а) Если каждая девушка получила ровно 7 писем, то всего было отправлено $7n$ писем. Поэтому $16n-11x=7n$, откуда $9n=11x$. Можно взять $n=11$, $x=9$. Тогда 9 юношей отправляют по 5 писем, а 2 юноши — по 16 писем; всего отправлено $77$ писем, то есть каждая из 11 девушек может получить по 7 писем.
$$9n=11x,\quad n=11,\quad x=9$$Следовательно, в пункте а) такая ситуация возможна.
б) Если все девушки получили одинаковое количество писем, то общее количество писем делится на $n$. Поэтому $n\mid(16n-11x)$, а значит, $n\mid11x$.
$$n\mid11x$$Проверим наименьшие возможные значения $n$. Так как и юношей, отправивших по 5 и по 16 писем, не меньше двух, необходимо $n\geqslant4$. Для $4\leqslant n\leqslant10$ ни одно число $x$ от 2 до $n-2$ не удовлетворяет условию $n\mid11x$. При $n=11$ можно взять $x=2$: тогда $11\mid22$.
$$n=11,\quad x=2,\quad S=16\cdot11-11\cdot2=154$$В этом случае каждая девушка может получить $154/11=14$ писем. Поэтому наименьшее количество девушек равно 11.
$$\frac{154}{11}=14$$в) Если количества писем у девушек попарно различны и неотрицательны, то их сумма не меньше суммы первых $n$ неотрицательных целых чисел:
$$S\geqslant0+1+\dots+(n-1)=\frac{n(n-1)}2$$При $x\geqslant2$ общее количество писем максимально при $x=2$, поэтому $S\leqslant16n-22$. Следовательно, необходимо выполнение неравенства
$$\frac{n(n-1)}2\leqslant16n-22$$После преобразования получаем $n^2-33n+44\leqslant0$. Для натуральных $n$ отсюда следует $n\leqslant31$.
$$n^2-33n+44\leqslant0$$Значение $n=31$ достижимо: возьмём $x=2$. Тогда всего отправлено $16\cdot31-11\cdot2=474$ письма. Можно распределить их между 31 девушкой в количествах $0,1,2,\ldots,29,39$: эти числа попарно различны, неотрицательны, а их сумма равна $465+9=474$.
$$0+1+\dots+29+39=465+9=474$$а) Да. б) 11 девушек. в) 31 девушка.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать, что юношей, отправивших по 5 и по 16 писем, должно быть не меньше двух.
В пункте б) проверять только делимость общего количества писем на число девушек, но не доказывать минимальность.
В пункте в) использовать сумму 1+2+...+n вместо минимальной суммы 0+1+...+(n-1), хотя одна девушка может не получить писем.
Не предъявить конкретное распределение писем для доказательства достижимости значения 31.