Решение: Операции с двузначными числами
На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на 2 и уменьшают цифру в разряде единиц на 5, либо уменьшают цифру в разряде десятков на 2 и увеличивают цифру в разряде единиц на 2. Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.
Решение по шагам
7 шаговПусть первая операция применяется к x числам, а вторая — к y числам. При первой операции цифра десятков увеличивается на 2, а цифра единиц уменьшается на 5, поэтому число увеличивается на $20-5=15$.
$$\Delta_1=15$$При второй операции цифра десятков уменьшается на 2, а цифра единиц увеличивается на 2, поэтому число уменьшается на $20-2=18$.
$$\Delta_2=-18$$а) Если сумма получившихся чисел на 128 больше исходной, то должно выполняться $15x-18y=128$. Левая часть делится на 3, а число 128 на 3 не делится. Следовательно, такая ситуация невозможна.
б) При равенстве сумм имеем $15x-18y=0$, откуда $5x=6y$. Так как 5 и 6 взаимно просты, существуют натуральные k такие, что $x=6k$, $y=5k$. Общее количество чисел равно $x+y=11k$, поэтому оно не может быть равно 25.
в) Для первой операции исходное число должно иметь цифру десятков не больше 7 и цифру единиц не меньше 5. Наименьшее допустимое число — 15. Для второй операции цифра десятков должна быть не меньше 3, а цифра единиц не больше 7. Наименьшее допустимое число — 30.
При равенстве сумм $x=6k$, $y=5k$. Поэтому сумма исходных чисел не меньше $6k\cdot15+5k\cdot30=240k$. По условию $240k<1198$, значит $k\leq4$. Следовательно, количество чисел не превосходит $11\cdot4=44$.
Оценка достигается: можно взять 24 числа 15 и 20 чисел 30. Для чисел 15 применяется первая операция, получается 30; для чисел 30 применяется вторая операция, получается 12. Сумма исходных чисел равна $24\cdot15+20\cdot30=960$, а сумма получившихся чисел равна $24\cdot30+20\cdot12=960$. Сумма меньше 1198, а всего чисел 44.
а) Нет. б) Нет. в) Наибольшее количество чисел равно 44.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают, что изменение цифры десятков на 2 изменяет число на 20.
Считают изменение второй операции равным −22 вместо −18.
Не учитывают ограничения, обеспечивающие получение двузначных натуральных чисел.
В пункте в) находят только верхнюю оценку, но не приводят пример, на котором она достигается.