Решение: Операция с цифрами числа
С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на 3.
а) Могло ли в результате такой операции получиться число 300?
б) Могло ли в результате такой операции получиться число 151?
в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от 100 до 600 включительно?
Решение по шагам
6 шаговПусть исходное трёхзначное число имеет вид $100a+10b+c$, где $a\in\{1,2,\ldots,9\}$, а $b$ и $c$ — цифры. Сумма его цифр равна $a+b+c$.
$$100a+10b+c-(a+b+c)=99a+9b$$После деления получившейся разности на 3 результат операции равен:
$$\frac{99a+9b}{3}=33a+3b=3(11a+b)$$Для пункта а) число 300 получить нельзя, так как при $100\leqslant n\leqslant 600$ имеем $a\leqslant 6$ и $b\leqslant 9$, поэтому $11a+b\leqslant 75$, а результат не превосходит $225$. Следовательно, 300 невозможно получить.
$$33a+3b\leqslant 33\cdot 6+3\cdot 9=225<300$$Для пункта б) число 151 получить нельзя, поскольку результат всегда кратен 3, а число 151 на 3 не делится.
$$1+5+1=7\not\equiv 0\pmod 3$$Для пункта в) рассмотрим числа от 100 до 599. Для каждой пары цифр $a\in\{1,2,3,4,5\}$ и $b\in\{0,1,\ldots,9\}$ результат зависит только от $a$ и $b$, но не зависит от цифры $c$. Всего таких пар $5\cdot 10=50$.
$$33a+3b=3(11a+b)$$Различные пары $(a,b)$ дают различные значения, так как равенство $11a+b=11a'+b'$ при $b,b'\in\{0,\ldots,9\}$ возможно только при $a=a'$ и $b=b'$. Число 600 даёт ещё одно значение, соответствующее паре $(a,b)=(6,0)$.
$$50+1=51$$а) Нет. б) Нет. в) 51.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают разделить разность на 3 и получают выражение $99a+9b$ вместо $33a+3b$.
Считают все числа от 100 до 699, хотя по условию рассматриваются числа только до 600 включительно.
Не объясняют, почему разные пары цифр дают разные результаты.
Пытаются проверить число 151 перебором вместо использования делимости результата на 3.