Решение: Уравнение с параметром на отрезке
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $\sqrt{2x-1}\cdot\ln(4x-a)=\sqrt{2x-1}\cdot\ln(5x+a)$ имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$.
Решение по шагам
6 шаговОбласть определения квадратного корня требует $x\geq\frac12$. При $x=\frac12$ множитель перед логарифмами равен нулю, поэтому равенство выполняется при условии существования обоих логарифмов:
$$4\cdot\frac12-a>0,\quad 5\cdot\frac12+a>0$$Следовательно, $x=\frac12$ является корнем при $-\frac52<a<2$.
При $x>\frac12$ множитель $\sqrt{2x-1}$ положителен, поэтому можно сократить его. Равенство логарифмов равносильно равенству их аргументов:
$$\ln(4x-a)=\ln(5x+a)\Longleftrightarrow 4x-a=5x+a\Longleftrightarrow x=-2a$$Корень $x=-2a$ принадлежит отрезку $[\frac12;1]$, если:
$$\frac12\leq-2a\leq1\Longleftrightarrow-\frac12\leq a\leq-\frac14$$Если $-\frac12\leq a< -\frac14$, имеются два различных корня: $x=\frac12$ и $x=-2a$. При $a=-\frac14$ эти корни совпадают: $x=\frac12$.
Чтобы был ровно один корень, нужно взять все значения, при которых существует корень $x=\frac12$, исключив значения, дающие второй отличный корень.
a\in\left(-\frac52;- rac12\right)\cup\left[-\frac14;2\right)
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают точку $x=\frac12$, где множитель перед логарифмами равен нулю.
Сокращают на $\sqrt{2x-1}$ при $x=\frac12$.
Считают значения $-\frac12\leq a< -\frac14$ подходящими, хотя при них есть два корня.
Забывают, что при $a=-\frac14$ два найденных корня совпадают.