Шешімі: Треугольник и вписанная окружность
Периметр треугольника $ABC$ равен $36$. Точки $E$ и $F$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Отрезок $EF$ касается окружности, вписанной в треугольник $ABC$.
а) Докажите, что $AC = 9$.
б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если $\angle ACB = 90^\circ$.
Шешім по шагам
9 қадамПоскольку точки $E$ и $F$ — середины сторон $AB$ и $BC$, отрезок $EF$ является средней линией треугольника $ABC$. Поэтому $EF\parallel AC$, а расстояние между прямыми $EF$ и $AC$ равно половине высоты $h$, проведённой к стороне $AC$.
$$d(EF,AC)=\frac{h}{2}$$Обозначим через $O$ центр вписанной окружности, а через $r$ — её радиус. Расстояние от $O$ до стороны $AC$ равно $r$. Так как $EF$ касается окружности, расстояние от $O$ до прямой $EF$ также равно $r$. Следовательно, $O$ находится между параллельными прямыми $AC$ и $EF$, и
$$\frac{h}{2}-r=r$$Отсюда получаем связь между высотой и радиусом вписанной окружности:
$$h=4r$$Полупериметр треугольника равен $p=18$. Выразим площадь двумя способами: через основание и высоту, а также через радиус вписанной окружности.
$$S=\frac12 AC\cdot h=pr=18r$$Подставляя $h=4r$, получаем:
$$\frac12 AC\cdot4r=18r$$Так как $r>0$, делим обе части на $2r$ и находим длину стороны $AC$:
$$AC=9$$Во второй части угол $ACB$ прямой, поэтому $AC$ и $BC$ — катеты, а $AB$ — гипотенуза. Обозначим $BC=x$, тогда по условию периметра $AB=27-x$.
$$x^2+9^2=(27-x)^2$$Решая уравнение, получаем длину второго катета:
$$x^2+81=729-54x+x^2,\quad x=12$$Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:
$$S=\frac12\cdot9\cdot12=54$$а) $AC=9$; б) $S_{ABC}=54$.
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Ошибочно считать, что расстояние от центра окружности до $EF$ равно $h/2$; нужно учитывать расстояние от центра до $AC$, равное $r$.
Использовать радиус вместо полупериметра в формуле $S=pr$.
В пункте б) принять $AB$ или $BC$ за гипотенузу без учёта того, что прямой является угол $ACB$.