Шешімі: Система неравенств с параметром
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система неравенств
$$
\begin{cases}
ax \ge 2,\\
\sqrt{x-1}>a,\\
3x\le 2a+11
\end{cases}
$$
имеет хотя бы одно решение на отрезке $[3;4]$.
Шешім по шагам
7 қадамТак как $x\in[3;4]$, переменная $x$ положительна. Первое неравенство равносильно условию $a\ge\dfrac{2}{x}$, второе — условию $a<\sqrt{x-1}$, а третье — условию $a\ge\dfrac{3x-11}{2}$.
Сравним нижние границы. Разность соответствующих выражений определяется неравенством
$$\frac{2}{x}\ge\frac{3x-11}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad 4\ge 3x^2-11x\quad\Longleftrightarrow\quad (x-4)(3x+1)\le0$$Для $x\in[3;4]$ последнее неравенство выполнено. Поэтому третье неравенство не даёт дополнительного ограничения, и необходимо найти все $a$, для которых существует $x\in[3;4]$ такое, что
$$\frac{2}{x}\le a<\sqrt{x-1}$$Из условия $\dfrac{2}{x}\le a$ следует $a>0$ и $x\ge\dfrac{2}{a}$. Минимально возможное значение параметра достигается при $x=4$: $a\ge\dfrac{2}{4}=\dfrac12$.
Если $\dfrac12\le a<\sqrt2$, можно выбрать $x=\dfrac{2}{a}$. Тогда $x\in[3;4]$ при $a\in[\frac12;\frac23]$, а при больших $a$ подходит, например, $x=3$. Условие $a<\sqrt{x-1}$ выполняется.
Для $a\ge\sqrt2$ необходимо, чтобы существовало $x\in[3;4]$ с $x>a^2+1$, поскольку $a<\sqrt{x-1}$. Такое $x$ существует тогда и только тогда, когда $a^2+1<4$, то есть $a<\sqrt3$.
Граница $a=\sqrt3$ не входит: при $x\le4$ имеем $\sqrt{x-1}\le\sqrt3$, а требуется строгое неравенство $a<\sqrt{x-1}$. Граница $a=\frac12$ входит, например, при $x=4$.
a\in\left[\dfrac12;\sqrt3\right)
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают, что неравенство $\sqrt{x-1}>a$ является строгим, поэтому правая граница $\sqrt3$ не входит.
Қате делят неравенство $ax\ge2$ на $a$, не установив положительность параметра.
Не учитывают ограничение $x\in[3;4]$.
Считают, что условие $3x\le2a+11$ даёт более сильное ограничение, хотя на отрезке $[3;4]$ оно слабее условия $a\ge\dfrac2x$.