Решение: Высоты и перпендикуляры в треугольнике
В равнобедренном остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AH$ и $CT$ к боковым сторонам $BC$ и $AB$. Отрезки $HM$ и $HK$ — перпендикуляры к прямым $AB$ и $AC$ соответственно. Отрезки $CT$ и $MK$ пересекаются в точке $E$.
а) Докажите, что прямые $AB$ и $EH$ параллельны.
б) Найдите длину отрезка $ME$, если $AB=13$ и $AC=10$.
Решение по шагам
7 шаговПоскольку треугольник равнобедренный, его боковые стороны равны: $AB=BC=13$. Высота к основанию $AC$ делит его пополам, поэтому при выборе координат $A(-5;0)$ и $C(5;0)$ получаем $B(0;12)$ из прямоугольного треугольника с гипотенузой $13$.
$$12^2+5^2=13^2$$Уравнения боковых сторон имеют вид $BC:12x+5y-60=0$ и $AB:12x-5y+60=0$. Проекция точки $A$ на прямую $BC$ даёт точку $H$.
$$H\left(\frac{595}{169};\frac{600}{169}\right)$$Так как $HK\perp AC$, а $AC$ является осью абсцисс, получаем координаты точки $K$. Проецируя $H$ на прямую $AB$, находим точку $M$.
$$K\left(\frac{595}{169};0\right),\quad M\left(-\frac{70805}{28561};\frac{172800}{28561}\right)$$Высота $CT$ перпендикулярна $AB$, поэтому её уравнение имеет вид $5x+12y-25=0$. Подставляя параметрическое уравнение прямой $MK$, находим точку пересечения $E$.
$$E=M+\frac{20111}{24336}(K-M)$$После вычисления координат точки $E$ получаем, что вектор $\overrightarrow{HE}$ пропорционален вектору $\overrightarrow{AB}=(5;12)$.
$$\overrightarrow{HE}= -\frac{5950}{28561}(5;12)$$Следовательно, $EH\parallel AB$, что доказывает утверждение пункта а).
Длина отрезка $MK$ равна $\frac{1440}{169}$. Поскольку $E=M+\frac{20111}{24336}(K-M)$, имеем $ME=\frac{20111}{24336}MK$.
$$ME=\frac{20111}{24336}\cdot\frac{1440}{169}=\frac{1190}{169}$$$EH\parallel AB$; $ME=\frac{1190}{169}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно определить равные стороны равнобедренного треугольника.
Ошибиться при нахождении координат основания высоты $AH$.
Проверять параллельность по угловым коэффициентам при вертикальной прямой без дополнительного обоснования.
Найти отношение $ME:MK$, но забыть умножить его на длину $MK$.