Решение: Система с параметром и корнем
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$$
\begin{cases}
(xy-2x+12)\sqrt{y-2x+12}=0,\\
y=ax-10
\end{cases}
$$
имеет ровно два различных решения.
Решение по шагам
8 шаговИз равенства произведения нулю получаем два случая: $y-2x+12=0$ или $xy-2x+12=0$, причём во втором случае необходимо условие $y-2x+12\ge 0$.
$$(xy-2x+12)\sqrt{y-2x+12}=0$$В первом случае $y=2x-12$. С учётом уравнения прямой получаем $(a-2)x=-2$. Поэтому при $a\ne2$ имеется одно решение, а при $a=2$ решений в этом случае нет.
$$ax-10=2x-12$$Во втором случае подставим $y=ax-10$ в уравнение $xy-2x+12=0$.
$$ax^2-12x+12=0$$Условие существования корня под знаком радикала принимает вид $(a-2)x+2\ge0$. Удобнее выразить параметр через $x$ из второго уравнения: $a=\dfrac{12(x-1)}{x^2}$. Ограничение на $x$ даёт $x\in(-\infty,0)\cup[1,6]$.
$$a=\frac{12(x-1)}{x^2},\qquad x\in(-\infty,0)\cup[1,6]$$На промежутке $(-\infty,0)$ функция $\dfrac{12(x-1)}{x^2}$ принимает все отрицательные значения по одному разу. На отрезке $[1,6]$ она возрастает от $0$ до $3$ при $x=2$, затем убывает до $\dfrac53$ при $x=6$.
$$f(1)=0,\qquad f(2)=3,\qquad f(6)=\frac53$$При $a<0$ имеется одно решение из второго случая и одно из первого, всего два. При $a=0$ эти решения совпадают в точке $x=1$, поэтому решение только одно.
$$a<0$$При $0<a<\dfrac53$ и при $\dfrac53<a<3$ второй случай даёт два решения, а первый — ещё одно, поэтому всего три решения. При $a=\dfrac53$ одно из двух решений второго случая совпадает с решением первого случая, поэтому всего два решения.
$$a=\frac53$$При $a=2$ первый случай решений не даёт, а второй даёт два решения, поэтому всего два. При $a=3$ второй случай даёт одно решение, а первый — ещё одно, поэтому всего два. При $a>3$ остаётся только одно решение из первого случая.
$$a=2,\qquad a=3$$Ответ: $a\in(-\infty,0)\cup\left\{\frac53,2,3\right\}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать область определения квадратного корня.
Считать совпадающие решения из двух случаев различными.
Забыть, что при $a=2$ прямая $y=ax-10$ не пересекает прямую $y=2x-12$.
Не исследовать отдельно граничные значения $a=0$, $a=\frac53$ и $a=3$.