Решение: Сечение правильной призмы
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ известно, что $AB=2$. Плоскость $\alpha$ проходит через вершины $A_1$ и $B$ и середину $M$ ребра $CC_1$.
а) Докажите, что сечение призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$ является равнобедренным треугольником.
б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения плоскостью $\alpha$ равна $6$.
Решение по шагам
8 шаговТак как основание призмы является правильным треугольником со стороной $2$, выберем координаты $A(0,0,0)$, $B(2,0,0)$, $C(1,\sqrt{3},0)$. Пусть высота призмы равна $h$. Тогда $A_1(0,0,h)$, а середина ребра $CC_1$ имеет координаты $M(1,\sqrt{3},h/2)$.
Плоскость проходит через точки $A_1$, $B$ и $M$, поэтому сечение является треугольником $A_1BM$.
Вычислим длины двух его сторон:
$$A_1M^2=(1-0)^2+(\sqrt{3}-0)^2+(h/2-h)^2=4+\frac{h^2}{4}$$Аналогично:
$$BM^2=(1-2)^2+(\sqrt{3}-0)^2+(h/2-0)^2=4+\frac{h^2}{4}$$Следовательно, $A_1M=BM$, поэтому сечение $A_1BM$ является равнобедренным треугольником.
Найдём его площадь через векторное произведение. Векторы $\overrightarrow{A_1B}=(2,0,-h)$ и $\overrightarrow{A_1M}=(1,\sqrt{3},-h/2)$, поэтому:
$$S_{A_1BM}=\frac12\left|\overrightarrow{A_1B}\times\overrightarrow{A_1M}\right|=\frac12\sqrt{3h^2+12}=\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{h^2+4}$$По условию площадь сечения равна $6$:
$$\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{h^2+4}=6$$Возводим обе части в квадрат и находим высоту:
$$3(h^2+4)=144,\quad h^2=44,\quad h=2\sqrt{11}$$Сечение — равнобедренный треугольник $A_1BM$; высота призмы равна $2\sqrt{11}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно считать сечением четырёхугольник: плоскость пересекает призму по треугольнику $A_1BM$.
Забывать, что $M$ — середина ребра $CC_1$, поэтому его высотная координата равна $h/2$.
Ошибочно использовать площадь основания призмы вместо площади треугольника сечения.
При извлечении квадратного корня выбирать отрицательное значение высоты.