Решение: Логарифмическое неравенство с параметром
Решите неравенство $\dfrac{\log_2 x^2-\log_3 x^2}{\log_6^2\left(2x^2-10x+12{,}5\right)+1}\ge 0$.
Решение по шагам
5 шаговДля существования логарифмов необходимо $x^2>0$ и $2x^2-10x+12{,}5>0$. Первое условие даёт $x\ne0$.
$$2x^2-10x+12{,}5=2(x-2{,}5)^2>0\iff x\ne2{,}5$$Знаменатель положителен при всех допустимых $x$, поскольку квадрат логарифма неотрицателен.
$$(\log_6(2x^2-10x+12{,}5))^2+1>0$$Исследуем числитель, используя переход к натуральным логарифмам.
$$\log_2x^2-\log_3x^2=\frac{\ln(x^2)}{\ln2}-\frac{\ln(x^2)}{\ln3}=\ln(x^2)\left(\frac1{\ln2}-\frac1{\ln3}\right)$$Так как $\ln2<\ln3$, выражение $\dfrac1{\ln2}-\dfrac1{\ln3}$ положительно. Поэтому числитель неотрицателен тогда и только тогда, когда $\ln(x^2)\ge0$, то есть $x^2\ge1$.
$$x^2\ge1\iff x\le-1\ \text{или}\ x\ge1$$Исключаем из найденного множества точку $x=2{,}5$, в которой подлогарифмическое выражение знаменателя равно нулю.
$$x\in(-\infty,-1]\cup[1,2{,}5)\cup(2{,}5,+\infty)$$x\in(-\infty,-1]\cup[1;2{,}5)\cup(2{,}5;+\infty)
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать условие $x\ne2{,}5$, при котором подлогарифмическое выражение в знаменателе равно нулю.
Ошибочно считать, что знаменатель может менять знак.
Неверно сравнить коэффициенты $\dfrac1{\ln2}$ и $\dfrac1{\ln3}$.