Шешімі: Расстояние до плоскости пирамиды
В пирамиде $ABCD$ рёбра $DA$, $DB$ и $DC$ попарно перпендикулярны, а $AB = BC = AC = 6\sqrt{2}$. На рёбрах $DA$ и $DC$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $DM:MA = DN:NC = 1:2$. Найдите расстояние от точки $D$ до плоскости $MNB$.
Шешім по шагам
7 қадамТак как рёбра $DA$, $DB$ и $DC$ попарно перпендикулярны, треугольники $ADB$, $BDC$ и $ADC$ прямоугольные в точке $D$.
$$AB^2=DA^2+DB^2,\quad BC^2=DB^2+DC^2,\quad AC^2=DA^2+DC^2$$Поскольку $AB=BC=AC$, из равенств квадратов соответствующих сторон следует, что $DA=DB=DC$. Обозначим общую длину этих рёбер через $x$.
$$2x^2=(6\sqrt{2})^2=72$$Отсюда $x=6$, то есть $DA=DB=DC=6$. Основание $ABC$ является равносторонним треугольником, и все боковые рёбра равны стороне основания. Следовательно, пирамида $ABCD$ является правильной.
Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $D$ и осями вдоль рёбер $DA$, $DB$ и $DC$. Тогда можно считать, что $D=(0,0,0)$, $A=(6,0,0)$, $B=(0,6,0)$, $C=(0,0,6)$.
Из отношений $DM:MA=1:2$ и $DN:NC=1:2$ следует, что точки $M$ и $N$ делят соответствующие рёбра в отношении одной трети от точки $D$.
$$M=(2,0,0),\quad N=(0,0,2)$$Плоскость, проходящая через точки $M$, $N$ и $B$, имеет уравнение в отрезках $\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{2}=1$. После умножения на 6 получаем её общее уравнение.
$$3x+y+3z-6=0$$Расстояние от точки $D=(0,0,0)$ до плоскости $3x+y+3z-6=0$ вычисляется по формуле расстояния от точки до плоскости.
$$\rho=\frac{|3\cdot0+0+3\cdot0-6|}{\sqrt{3^2+1^2+3^2}}=\frac{6}{\sqrt{19}}$$Пирамида $ABCD$ является правильной, а расстояние от точки $D$ до плоскости $MNB$ равно $\dfrac{6}{\sqrt{19}}$.
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно использовать отношение $DM:MA=1:2$: точка $M$ находится на расстоянии $\frac{1}{3}DA$ от точки $D$, а не на расстоянии $\frac{2}{3}DA$.
Забыть доказать равенство рёбер $DA$, $DB$ и $DC$.
Неправильно составить уравнение плоскости через точки $M$, $N$ и $B$.
Вычислить расстояние до одной из координатных плоскостей вместо расстояния до плоскости $MNB$.