Решение: Сечение правильной призмы
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ отметили точки $M$ и $K$ на рёбрах $AA_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Известно, что $A_1M=2MA$, $A_1K=KB_1$. Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $\alpha$, перпендикулярную грани $ABB_1A_1$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершину $C_1$.
б) Найдите площадь сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$, если все рёбра призмы равны $12$.
Решение по шагам
7 шаговВыберем координаты вершин призмы: $A(0,0,0)$, $B(12,0,0)$, $C(6,6\sqrt{3},0)$, $A_1(0,0,12)$, $B_1(12,0,12)$, $C_1(6,6\sqrt{3},12)$.
Из условия $A_1M=2MA$ и $AA_1=12$ следует $MA=4$, поэтому $M(0,0,4)$. Точка $K$ — середина ребра $A_1B_1$, поэтому $K(6,0,12)$.
$$12-z_M=2z_M,\quad z_M=4$$Грань $ABB_1A_1$ задаётся уравнением $y=0$. Плоскость, перпендикулярная этой грани, имеет нормаль, перпендикулярную вектору $(0,1,0)$, поэтому её уравнение не содержит $y$. Через точки $M$ и $K$ проходит плоскость с уравнением $4x-3z+12=0$.
$$4\cdot0-3\cdot4+12=0,\quad 4\cdot6-3\cdot12+12=0$$Для вершины $C_1(6,6\sqrt{3},12)$ имеем $4\cdot6-3\cdot12+12=0$. Следовательно, $C_1\in\alpha$, что доказывает пункт а).
$$24-36+12=0$$Плоскость пересекает призму по треугольнику $MKC_1$: отрезки $MK$, $KC_1$ и $C_1M$ лежат соответственно в гранях $ABB_1A_1$, $A_1B_1C_1$ и $ACC_1A_1$.
Найдём площадь треугольника по векторному произведению. Имеем $\overrightarrow{MK}=(6,0,8)$ и $\overrightarrow{MC_1}=(6,6\sqrt{3},8)$.
$$S_{MKC_1}=\frac12\left|\overrightarrow{MK}\times\overrightarrow{MC_1}\right|$$Векторное произведение равно $(-48\sqrt{3},0,36\sqrt{3})$, его длина равна $60\sqrt{3}$. Поэтому площадь сечения равна $30\sqrt{3}$.
$$\left|\overrightarrow{MK}\times\overrightarrow{MC_1}\right|=60\sqrt{3},\qquad S=\frac12\cdot60\sqrt{3}=30\sqrt{3}$$Плоскость $\alpha$ проходит через $C_1$, а площадь сечения $MKC_1$ равна $30\sqrt{3}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно определяют положение точки $M$: из условия следует $MA=4$, а не $A_1M=4$.
Считают, что сечение является четырёхугольником, хотя плоскость пересекает призму по треугольнику $MKC_1$.
Забывают доказать, что точка $C_1$ принадлежит плоскости $\alpha$.
Ошибаются при вычислении площади треугольника по векторам.