Шешімі: Сумма разностей по окружности
По окружности в некотором порядке расставлены натуральные числа от 1 до 12. Между каждыми двумя соседними числами написали модуль их разности. Затем исходные числа стёрли.
Шешімін қадамдап көрсету
6 қадамДля пункта а) подходит, например, расстановка $1,2,3,4,10,9,8,7,6,5,11,12$ по окружности.
$$|1-2|+|2-3|+|3-4|+|4-10|+|10-9|+|9-8|+|8-7|+|7-6|+|6-5|+|5-11|+|11-12|+|12-1|=32$$Для пункта б) модуль разности имеет ту же чётность, что и сама разность. Поэтому сумма полученных чисел сравнима по модулю 2 с суммой разностей по замкнутому циклу.
$$\sum |a_i-a_{i+1}| \equiv \sum (a_i-a_{i+1})=0 \pmod 2$$Следовательно, сумма полученных чисел всегда чётна. Поэтому значение 29 невозможно.
Для любых двух чисел $a$ и $b$ из расстановки справедливо неравенство $|a-b|\leq |a-6{,}5|+|b-6{,}5|$. Суммируя его по всем двенадцати соседним парам, получаем:
$$\sum |a_i-a_{i+1}|\leq 2\sum_{k=1}^{12}|k-6{,}5|$$Вычислим правую часть:
$$2\sum_{k=1}^{12}|k-6{,}5|=2\cdot 36=72$$Значение 72 достигается, например, при расстановке $1,12,2,11,3,10,4,9,5,8,6,7$.
$$11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1+6=72$$а) Например, $1,2,3,4,10,9,8,7,6,5,11,12$; б) нет, так как сумма всегда чётна; в) наибольшее значение равно $72$.
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают учесть разность между последним и первым числом.
Пытаются доказать невозможность числа 29 только перебором.
Не доказывают, что найденное значение в пункте в) является максимальным.
Ошибочно считают, что максимальная сумма получается при обычной последовательности чисел от 1 до 12.