Решение: Расчёт суммы кредита
В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг будет возрастать на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
— в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— в июле 2030 года долг должен составить 600 тыс. рублей;
— в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2360 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?
Решение по шагам
6 шаговОбозначим через $D_k$ долг в июле года $2025+k$, где $D_0$ — сумма кредита. В 2026–2030 годах долг уменьшается на одну и ту же величину $a$. Так как $D_5=600$, получаем $D_0=600+5a$.
В 2030–2035 годах долг уменьшается от $600$ до $0$ за пять равных шагов. Поэтому величина уменьшения на втором этапе равна $600:5=120$ тыс. рублей, а долги $D_6,D_7,D_8,D_9,D_{10}$ равны $480, 360, 240, 120, 0$.
Платёж за каждый год равен долгу после январского увеличения минус долг, оставшийся в июле: $P_k=1{,}2D_{k-1}-D_k$.
Сумма всех платежей равна $1{,}2D_0+0{,}2(D_1+D_2+\dots+D_9)-D_{10}$. При этом $D_1+\dots+D_9=4200+10a$, а $D_{10}=0$.
Подставим выражения в условие о сумме платежей: $1{,}2(600+5a)+0{,}2(4200+10a)=2360$. Отсюда $1560+8a=2360$, поэтому $a=100$.
Следовательно, сумма кредита равна $D_0=600+5\cdot100=1100$ тыс. рублей.
1100 тыс. рублей
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать увеличение долга на 20% перед каждым ежегодным платежом.
Принять 600 тыс. рублей за сумму кредита, хотя это долг только в июле 2030 года.
Неверно определить число шагов арифметической прогрессии между июлем 2030 и июлем 2035 года.