Решение: Система неравенств с параметром
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система неравенств
$$
\begin{cases}
x \le 2a+6,\\
6x \ge x^2+a^2,\\
x+a>0
\end{cases}
$$
имеет хотя бы одно решение на отрезке $[1;2]$.
Решение по шагам
5 шаговИз второго неравенства имеем
$$a^2\le 6x-x^2=9-(x-3)^2$$При $x\in[1;2]$ функция $6x-x^2$ возрастает, поэтому её максимальное значение равно $8$ при $x=2$. Следовательно, необходимое условие существования решения: $a^2\le8$, то есть $-2\sqrt2\le a\le2\sqrt2$.
Рассмотрим $a\ge0$. Первое неравенство при $x\in[1;2]$ выполняется автоматически, поскольку $2a+6\ge6$. Третье неравенство также выполняется автоматически. При $0\le a\le2\sqrt2$ можно выбрать $x=2$, и второе неравенство будет выполнено.
Рассмотрим $a<0$. Из условия $x+a>0$ следует $x>-a$. Так как $x\le2$, необходимо $-a<2$, то есть $a>-2$. Для любого $a\in(-2;0)$ можно выбрать $x$ достаточно близкое к $2$ слева. При этом первое неравенство выполняется, так как $2a+6>2$ при $a>-2$, а второе выполняется, поскольку $a^2<4<8$.
Объединяя оба случая, получаем множество всех допустимых значений параметра.
$a\in(-2;\,2\sqrt2]$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Включают значение $a=-2$, хотя при нём условия $x\le2$ и $x+a>0$, то есть $x>2$, несовместимы.
Забывают проверить первое и третье неравенства после анализа второго.
Указывают нижнюю границу $-2\sqrt2$, полученную только из условия $a^2\le8$, хотя для отрицательных значений параметра более сильное ограничение даёт неравенство $x+a>0$.