Средние баллы в школах
В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом, причём в школе № 1 средний балл равнялся 18.
Один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. В результате средний балл в школе № 1 вырос на 10%, средний балл в школе № 2 также вырос на 10%.
а) Сколько учащихся могло писать тест в школе № 1 изначально?
б) В школе № 1 все писавшие тест набрали разное количество баллов. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся этой школы?
в) Известно, что изначально в школе № 2 писали тест более 10 учащихся. Какое наименьшее количество учащихся могло писать тест в школе № 2 изначально?
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| В школах 1 и 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали Один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы 1 в школу 2, а) Сколько учащихся могло писать тест в школе 1 изначально? б) В школе 1 все писавшие тест набрали разное количество баллов. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся этой школы? в) Известно, что изначально в школе 2 писали тест более 10 учащихся. Какое наименьшее количество учащихся могло писать тест в школе 2 изначально?
| ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Обозначьте через $n$ число учащихся в школе № 1, а через $x$ — количество баллов учащегося, который перешёл в другую школу. Составьте уравнение для нового среднего балла.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
После перехода средний балл в школе № 1 стал равен $18 \cdot 1{,}1=19{,}8$. Поэтому $18n-x=19{,}8(n-1)$. Используйте натуральность $x$ и условие его положительности.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Получается $x=\dfrac{9(11-n)}5$, откуда возможны $n=4$ и $n=9$, а соответствующие значения $x$ равны $9$ и $18$. Для максимума в пункте б) минимизируйте сумму остальных различных натуральных баллов.