Решение: Параметр в логарифмическом уравнении
Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение $(2x+\ln(x+2a))^2=(2x-\ln(x+2a))^2$ имеет единственный корень на отрезке $[0;1]$.
Решение по шагам
7 шаговОбласть допустимых значений исходного уравнения задаётся условием $x+2a>0$.
Применим формулу разности квадратов:
$$(2x+\ln(x+2a))^2-(2x-\ln(x+2a))^2=8x\ln(x+2a)=0$$Следовательно, возможны два случая: $x=0$ или $\ln(x+2a)=0$.
В первом случае $x=0$ допустим тогда и только тогда, когда $2a>0$, то есть $a>0$.
Во втором случае $x+2a=1$, поэтому $x=1-2a$. Этот корень лежит на отрезке $[0;1]$, если $0\leqslant 1-2a\leqslant 1$, то есть $0\leqslant a\leqslant \frac12$.
При $0<a<\frac12$ существуют два различных корня: $x=0$ и $x=1-2a$, поэтому такие значения параметра не подходят. При $a=\frac12$ эти корни совпадают: $x=0$.
При $a>\frac12$ второй корень отрицателен, а корень $x=0$ остаётся единственным. При $a=0$ корень $x=0$ недопустим, но $x=1$ допустим и является единственным корнем на отрезке.
Ответ: $a=0$ или $a\in\left[\frac12;+\infty\right)$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать условие $x+2a>0$ для логарифма.
Считать корень $x=0$ допустимым при $a=0$.
Не проверить совпадение двух корней при $a=\frac12$.
Рассматривать только корень $x=1-2a$ и забывать о корне $x=0$.