Решение: Кредит с равномерным уменьшением долга
15-го декабря планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия его возврата таковы:
1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
15-го числа 10-го месяца долг составит 300 тысяч рублей;
к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1388 тысяч рублей?
Решение по шагам
8 шаговПусть $D_i$ — долг на 15-е число $i$-го месяца после внесения платежа, а $D_0$ — первоначальная сумма кредита. Пусть ежемесячное уменьшение долга на 15-е число равно $d$ тысяч рублей.
$$D_i=D_{i-1}-d$$Так как $D_{10}=300$, первоначальный долг и долги на 15-е число имеют вид:
$$D_0=300+10d,\quad D_i=300+(10-i)d$$Выплата за месяц $i$ равна увеличенному на 1% долгу предыдущего месяца за вычетом долга после выплаты:
$$P_i=1{,}01D_{i-1}-D_i$$Сумма выплат за 11 месяцев, учитывая $D_{11}=0$, равна:
$$\sum_{i=1}^{11}P_i=1{,}01D_0+0{,}01(D_1+D_2+\dots+D_{10})$$Сумма $D_1+D_2+\dots+D_{10}$ является суммой первых десяти членов арифметической прогрессии. Первый член равен $300+9d$, последний — $300$.
$$D_1+\dots+D_{10}=\frac{10((300+9d)+300)}{2}=3000+45d$$Используем условие об общей сумме выплат:
$$1388=1{,}01(300+10d)+0{,}01(3000+45d)=333+10{,}55d$$Находим ежемесячное уменьшение долга:
$$d=\frac{1388-333}{10{,}55}=100$$Следовательно, первоначальная сумма кредита равна:
$$D_0=300+10\cdot100=1300$$1300 тысяч рублей.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать увеличение долга на 1% в начале каждого месяца.
Считать, что сумма выплат равна просто первоначальному долгу.
Неверно определить количество членов арифметической прогрессии.
Не учитывать выплату в 11-м месяце, после которой долг становится равным нулю.