Сечение правильной пирамиды
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ через ребро $AB$ провели плоскость $\alpha$, образующую сечение $ABMN$, где точки $M$ и $N$ — точки пересечения плоскости $\alpha$ с боковыми рёбрами $SC$ и $SD$ соответственно. Известно, что $AB = BM = AN = 5MN$. а) Докажите, что точки $M$ и $N$ делят рёбра $SC$ и $SD$ в отношении $1:4$, считая от вершины $S$. б) Найдите косинус угла между плоскостью основания $ABCD$ и плоскостью $\alpha$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| В правильной четырёхугольной пирамиде через ребро провели плоскость , образующую сечение где точки и точки пересечения плоскости с боковыми рёбрами и соответственно. Известно, что а) Докажите, что точки и делят рёбра и в отношении считая от вершины б) Найдите косинус угла между плоскостью основания и плоскостью | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Введём параметр $t$ так, чтобы $SM=t\cdot SC$ и $SN=t\cdot SD$. Почему параметры для точек $M$ и $N$ должны совпадать?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Расположите квадрат $ABCD$ в плоскости $z=0$, а вершину $S$ над центром квадрата. Используйте условие $AB=5MN$ для нахождения $t$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Получается $MN=5t$, поэтому $t=\frac15$. Из равенства $BM=5$ найдите высоту пирамиды, затем составьте уравнение плоскости $\alpha$ и вычислите угол между её нормалью и вертикалью.