Шешімі: Уравнение с параметром и тангенсом
Найдите все значения $a$, при которых уравнение $\left(2x+a+1+\tg x\right)^2=\left(2x+a-1-\tg x\right)^2$ имеет единственное решение на отрезке $\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$.
Шешім по шагам
6 қадамУчтём область определения: значения $x=\pm\dfrac{\pi}{2}$ не входят в область определения функции $\tg x$, поэтому фактически рассматриваются значения $x\in\left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)$.
Обозначим $A=2x+a+1+\tg x$, $B=2x+a-1-\tg x$. Тогда исходное уравнение равносильно совокупности $A=B$ или $A=-B$.
$$A^2=B^2\Longleftrightarrow(A-B)(A+B)=0$$Из равенства $A=B$ получаем постоянное для любого $a$ Шешім.
$$2x+a+1+\tg x=2x+a-1-\tg x\Longleftrightarrow\tg x=-1\Longleftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{4}$$Из равенства $A=-B$ получаем второе возможное Шешім.
$$2x+a+1+\tg x=-2x-a+1+\tg x\Longleftrightarrow 4x+2a=0\Longleftrightarrow x=-\dfrac a2$$Второе решение принадлежит области определения тогда и только тогда, когда $-\dfrac a2\in\left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)$, то есть $|a|<\pi$. При $|a|\geq\pi$ оно отсутствует, и остаётся только решение $x=-\dfrac{\pi}{4}$.
$$\left|a\right|\geq\pi$$При $|a|<\pi$ оба решения совпадают только в случае $-\dfrac a2=-\dfrac{\pi}{4}$, откуда $a=\dfrac{\pi}{2}$. Во всех остальных случаях при $|a|<\pi$ решений два.
$$-\dfrac a2=-\dfrac{\pi}{4}\Longleftrightarrow a=\dfrac{\pi}{2}$$a\in(-\infty;-\pi]\cup\left\{\dfrac{\pi}{2}\right\}\cup[\pi;+\infty)
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Учитывают точки $x=\pm\dfrac{\pi}{2}$ как шешімдер, несмотря на неопределённость тангенса.
Забывают, что исходное уравнение распадается на два случая.
Считают, что при $|a|<\pi$ всегда получается два различных решения, не проверяя совпадение решений при $a=\dfrac{\pi}{2}$.