Решение: Логарифмическое неравенство с параметром
Решите неравенство $\log_{16}(x+5)+\log_{x^2+10x+25}2\ge\dfrac{3}{4}$.
Решение по шагам
6 шаговЗапишем область допустимых значений. Необходимо $x+5>0$, а основание второго логарифма должно быть положительным и не равняться единице. Так как $x^2+10x+25=(x+5)^2$, получаем $x>-5$ и $x\ne-4$.
$$x+5>0,\quad (x+5)^2\ne1$$Выполним замену $t=\log_2(x+5)$. Тогда $t\ne0$, поскольку $x\ne-4$.
$$x+5=2^t,\quad t\ne0$$Преобразуем логарифмы: $16=2^4$, поэтому $\log_{16}(x+5)=\dfrac{t}{4}$. Кроме того, $(x+5)^2=2^{2t}$, следовательно, $\log_{(x+5)^2}2=\dfrac{1}{2t}$.
$$\frac{t}{4}+\frac{1}{2t}\ge\frac{3}{4}$$Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю. С учётом $t\ne0$ получаем рациональное неравенство.
$$\frac{t}{4}+\frac{1}{2t}-\frac{3}{4}=\frac{t^2-3t+2}{4t}=\frac{(t-1)(t-2)}{4t}\ge0$$Расставляя знаки на промежутках, получаем $t\in(0;1]\cup[2;+\infty)$.
$$t\in(0;1]\cup[2;+\infty)$$Возвращаемся к переменной $x$. Так как функция $2^t$ возрастает, из $x+5=2^t$ следует: при $t\in(0;1]$ имеем $x\in(-4;-3]$, а при $t\in[2;+\infty)$ — $x\in[-1;+\infty)$.
$$x\in(-4;-3]\cup[-1;+\infty)$$x\in(-4;-3]\cup[-1;+\infty)
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают, что основание логарифма $x^2+10x+25$ не должно равняться единице.
При умножении рационального неравенства на $t$ не учитывают знак переменной и получают неверные промежутки.
Ошибочно записывают область $x>-5$ без исключения точки $x=-4$.