Решение: Рациональное неравенство с логарифмами
Решите неравенство $$\frac{\log_5(25x)}{\log_5 x-2}+\frac{\log_5 x-2}{\log_5(25x)}\ge\frac{6-\log_5(x^4)}{(\log_5 x)^2-4}.$$
Решение по шагам
6 шаговОбласть допустимых значений определяется условиями $x>0$, $\log_5 x-2\ne0$ и $\log_5(25x)\ne0$. Поэтому $x>0$, $x\ne25$, $x\ne\frac1{25}$.
Введём замену $t=\log_5 x$. Тогда $\log_5(25x)=\log_5 25+\log_5 x=t+2$, а $\log_5(x^4)=4t$. Условие принимает вид
$$\frac{t+2}{t-2}+\frac{t-2}{t+2}\ge\frac{6-4t}{t^2-4},\quad t\ne\pm2$$Приведём левую часть к общему знаменателю и перенесём правую часть в левую:
$$\frac{(t+2)^2+(t-2)^2-(6-4t)}{t^2-4}\ge0$$Упростим числитель:
$$\frac{2t^2+8-6+4t}{t^2-4}=\frac{2(t+1)^2}{(t-2)(t+2)}\ge0$$Числитель неотрицателен и обращается в ноль при $t=-1$. Знаменатель положителен при $t<-2$ или $t>2$. Точка $t=-1$ также входит в решение, так как неравенство нестрогое.
Возвращаясь к $x$, получаем: $t<-2$ означает $0<x<\frac1{25}$, $t=-1$ означает $x=\frac15$, а $t>2$ означает $x>25$.
$x\in\left(0;\frac1{25}\right)\cup\left\{\frac15\right\}\cup(25;+\infty)$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают ограничения $\log_5 x\ne2$ и $\log_5 x\ne-2$.
Ошибочно исключают точку $t=-1$, хотя числитель обращается в ноль и неравенство является нестрогим.
Неверно преобразуют $\log_5(x^4)$ в $4\log_5 x$.