Шешімі: Трапеция и середина стороны
Точка $E$ — середина боковой стороны $CD$ трапеции $ABCD$. На стороне $AB$ взяли точку $K$ так, что прямые $CK$ и $AE$ параллельны. Отрезки $CK$ и $BE$ пересекаются в точке $O$.
а) Докажите, что $CO = KO$.
б) Найдите отношение оснований трапеции $BC$ и $AD$, если площадь треугольника $BCK$ составляет $\dfrac{9}{100}$ площади трапеции $ABCD$.
Шешім по шагам
9 қадамВведём координаты: $A=(0,0)$, $B=(b,h)$, $C=(b+x,h)$, $D=(d,0)$, где $AD=d$, $BC=x$. Тогда $E$ — середина $CD$, поэтому
$$E\left(\frac{b+x+d}{2},\frac h2\right)$$Пусть $K$ делит $AB$ так, что $K=(tb,th)$, где $0<t<1$. Так как $CK\parallel AE$, соответствующие координаты направляющих векторов пропорциональны:
$$(tb-b-x,\,h(t-1))\parallel\left(\frac{b+x+d}{2},\frac h2\right)$$Из пропорциональности вертикальных координат коэффициент пропорциональности равен $2(t-1)$. Сравнивая горизонтальные координаты, получаем:
$$tb-b-x=(t-1)(b+x+d),\qquad t=\frac{d}{d+x}$$Рассмотрим середину $M$ отрезка $CK$. Её ордината равна $\dfrac{h(1+t)}2$. При проверке уравнения прямой $BE$ с этой ординатой получается абсцисса середины $CK$, поэтому $M\in BE$. Следовательно, точка пересечения $O$ прямых $CK$ и $BE$ является серединой отрезка $CK$.
$$O=M=\frac{C+K}{2}$$Так как $O$ — середина отрезка $CK$, имеем:
$$CO=KO$$Высота треугольника $BCK$ равна $h(1-t)$, а высота трапеции равна $h$. Поэтому отношение площадей равно:
$$\frac{S_{BCK}}{S_{ABCD}}=\frac{\frac12\,x\,h(1-t)}{\frac12(d+x)h}=\frac{x(1-t)}{d+x}$$Подставим $t=\dfrac{d}{d+x}$. Тогда $1-t=\dfrac{x}{d+x}$, и потому:
$$\frac{S_{BCK}}{S_{ABCD}}=\frac{x^2}{(d+x)^2}=\frac{9}{100}$$Длины оснований положительны, поэтому берём положительный корень:
$$\frac{x}{d+x}=\frac{3}{10}$$Решая уравнение, получаем $10x=3d+3x$, откуда $7x=3d$.
$$\frac{x}{d}=\frac{3}{7}$$$CO=KO$; $BC:AD=3:7$.
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют неверную высоту треугольника $BCK$, принимая её равной высоте трапеции.
Забывают извлечь положительный квадратный корень из отношения площадей.
Путают основания трапеции и получают обратное отношение $7:3$.
Не обосновывают, почему середина отрезка $CK$ лежит на прямой $BE$.