Шешімі: Логарифмическое неравенство
Решите неравенство $\log_2^2(25-x^2)-7\log_2(25-x^2)+12\ge 0$.
Шешім по шагам
6 қадамЗапишем область допустимых значений логарифма:
$$25-x^2>0\quad\Longleftrightarrow\quad -5<x<5$$Введём замену $t=\log_2(25-x^2)$. Тогда исходное неравенство принимает вид:
$$t^2-7t+12\ge 0$$Разложим квадратный трёхчлен на множители:
$$(t-3)(t-4)\ge 0\quad\Longleftrightarrow\quad t\le 3\ \text{или}\ t\ge 4$$Так как основание логарифма $2>1$, функция логарифма возрастает. Поэтому:
$$\log_2(25-x^2)\le 3\Longleftrightarrow 25-x^2\le 8\Longleftrightarrow x^2\ge 17$$Вторая ветвь даёт:
$$\log_2(25-x^2)\ge 4\Longleftrightarrow 25-x^2\ge 16\Longleftrightarrow x^2\le 9$$Объединяем полученные множества с учётом ОДЗ $-5<x<5$:
$$x\in(-5,-\sqrt{17}]\cup[-3,3]\cup[\sqrt{17},5)$$Жауабы: $(-5,-\sqrt{17}]\cup[-3,3]\cup[\sqrt{17},5)$.
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не записывают область допустимых значений $25-x^2>0$.
Қате меняют знак неравенства при переходе от логарифма к его аргументу.
Включают точки $x=-5$ и $x=5$, хотя при них аргумент логарифма равен нулю.
Теряют одну из ветвей шешімдер квадратного неравенства.