16
Решение: Логарифмическое неравенство
ЕГЭ · Математика, профиль · Задание 16 · Алгебраические неравенства
ПовышеннаяФИПИ09B4F9Развёрнутое решение≈ 5 минутРазбор в 6 шагов
Дальше ответЕсли ещё решаете — начните с подсказок: они ведут к ответу, но не выдают его.
К подсказкамРешение по шагам
6 шагов1
Запишем область допустимых значений логарифма:
$$25-x^2>0\quad\Longleftrightarrow\quad -5<x<5$$2
Введём замену $t=\log_2(25-x^2)$. Тогда исходное неравенство принимает вид:
$$t^2-7t+12\ge 0$$3
Разложим квадратный трёхчлен на множители:
$$(t-3)(t-4)\ge 0\quad\Longleftrightarrow\quad t\le 3\ \text{или}\ t\ge 4$$4
Так как основание логарифма $2>1$, функция логарифма возрастает. Поэтому:
$$\log_2(25-x^2)\le 3\Longleftrightarrow 25-x^2\le 8\Longleftrightarrow x^2\ge 17$$5
Вторая ветвь даёт:
$$\log_2(25-x^2)\ge 4\Longleftrightarrow 25-x^2\ge 16\Longleftrightarrow x^2\le 9$$Объединяем полученные множества с учётом ОДЗ $-5<x<5$:
$$x\in(-5,-\sqrt{17}]\cup[-3,3]\cup[\sqrt{17},5)$$Ответ
Ответ: $(-5,-\sqrt{17}]\cup[-3,3]\cup[\sqrt{17},5)$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не записывают область допустимых значений $25-x^2>0$.
Неверно меняют знак неравенства при переходе от логарифма к его аргументу.
Включают точки $x=-5$ и $x=5$, хотя при них аргумент логарифма равен нулю.
Теряют одну из ветвей решения квадратного неравенства.