Решение: Трапеция в прямой призме
В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит параллелограмм $ABCD$. На рёбрах $A_1B_1$, $B_1C_1$ и $BC$ отмечены точки $M$, $K$ и $N$ соответственно, причём $B_1K:KC_1=1:2$. Четырёхугольник $AMKN$ — равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3. а) Докажите, что точка $N$ — середина ребра $BC$. б) Найдите площадь трапеции $AMKN$, если объём призмы равен 12, а высота призмы равна 2.
Решение по шагам
6 шаговОбозначим $\overrightarrow{BC}=\mathbf{u}$, $\overrightarrow{BA}=\mathbf{v}$, а вертикальный вектор призмы — $\mathbf{w}$. Тогда $|\mathbf{w}|=2$. Так как $B_1K:KC_1=1:2$, имеем $\overrightarrow{BK}=\mathbf{w}+\frac13\mathbf{u}$.
Основаниями трапеции являются $MK$ и $AN$. Действительно, $\overrightarrow{MK}=\frac13(\mathbf{u}-2\mathbf{v})$. Пусть $N$ делит $BC$ в отношении $BN:NC=t:(1-t)$. Тогда $\overrightarrow{AN}=t\mathbf{u}-\mathbf{v}$.
Так как $MK\parallel AN$, существует число $\lambda$, для которого $t\mathbf{u}-\mathbf{v}=\lambda\frac13(\mathbf{u}-2\mathbf{v})$. Сравнивая коэффициенты при $\mathbf{v}$, получаем $-1=-\frac{2\lambda}{3}$, поэтому $\lambda=\frac32$. Сравнение коэффициентов при $\mathbf{u}$ даёт $t=\frac12$. Следовательно, $BN=NC$, то есть $N$ — середина ребра $BC$.
Площадь основания призмы равна отношению объёма к высоте: $S_{ABCD}=\frac{12}{2}=6$. Так как $|MK|=2$, а $\overrightarrow{MK}=\frac13(\mathbf{u}-2\mathbf{v})$, имеем $|\mathbf{u}-2\mathbf{v}|=6$.
Расстояние от точки $A$ до прямой $MK$ в плоскости основания равно $\frac{|\mathbf{u}\times\mathbf{v}|}{3|\mathbf{u}-2\mathbf{v}|}=\frac{6}{18}=\frac13$. Перпендикулярная к основанию составляющая расстояния между основаниями трапеции равна высоте призмы, то есть 2.
По теореме Пифагора высота трапеции равна $h_{\text{тр}}=\sqrt{2^2+\left(\frac13\right)^2}=\frac{\sqrt{37}}{3}$. Поэтому площадь трапеции равна $S=\frac{2+3}{2}\cdot\frac{\sqrt{37}}{3}=\frac{5\sqrt{37}}{6}$.
$\displaystyle S_{AMKN}=\frac{5\sqrt{37}}{6}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно выбирать основания трапеции: параллельны стороны $MK$ и $AN$.
Забывать, что отношение $B_1K:KC_1=1:2$ даёт $BK=\frac13BC$ в горизонтальной составляющей.
Использовать высоту призмы 2 как высоту трапеции без учёта горизонтальной составляющей.
Ошибочно вычислять площадь основания призмы как произведение объёма и высоты.