Решение: Тригонометрическое уравнение
а) Решите уравнение $\cos 2x + \cos(-x) = 0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right]$.
Решение по шагам
7 шаговТак как косинус является чётной функцией, $\cos(-x)=\cos x$. Преобразуем уравнение:
$$\cos 2x + \cos x = 0$$Используем формулу двойного угла и обозначим $t=\cos x$:
$$2\cos^2 x-1+\cos x=0;\quad 2t^2+t-1=0$$Разложим квадратный трёхчлен на множители:
$$(2t-1)(t+1)=0$$Следовательно, возможны два случая:
$$\cos x=\frac{1}{2}\quad\text{или}\quad\cos x=-1$$Общее решение первого уравнения:
$$x=2\pi k\pm\frac{\pi}{3},\quad k\in\mathbb{Z}$$Общее решение второго уравнения:
$$x=\pi+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$$На отрезок $\left[-\frac{7\pi}{2};-2\pi\right]$ попадают значения $x=-\frac{7\pi}{3}$ из первого семейства и $x=-3\pi$ из второго семейства.
а) $x=2\pi k\pm\frac{\pi}{3}$ или $x=\pi+2\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$. б) $-3\pi; -\frac{7\pi}{3}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Ошибочно считать, что $\cos(-x)=-\cos x$.
Потерять решение $\cos x=-1$ после перехода к квадратному уравнению.
Неверно проверить принадлежность корней заданному отрезку.