Решение: Угол между диагоналями
В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 47^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение по шагам
5 шаговОбозначим $|AB|=a$. Тогда по условию $|AC|=2a$. Так как $CD\parallel AB$, угол между векторами $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ равен $47^\circ$.
$$|AB|=a,\quad |AC|=2a,\quad \angle(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=47^\circ$$Вторая диагональ выражается через эти векторы:
$$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}$$Вычислим скалярное произведение и длину второй диагонали.
$$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=4a^2-4a^2\cos47^\circ,\quad |BD|=\sqrt{8a^2(1-\cos47^\circ)}$$Если $\varphi$ — острый угол между диагоналями, то после сокращения получаем:
$$\cos\varphi=\sqrt{\frac{1-\cos47^\circ}{2}}=\sin23.5^\circ=\cos66.5^\circ$$Следовательно, угол между диагоналями равен $66.5^\circ$.
$$\varphi=66.5^\circ$$Где здесь ошибаются
Путать угол $\angle ACD$ с углом между диагоналями.
Использовать сумму, а не разность векторов при выражении второй диагонали.
Указать дополнительный тупой угол вместо меньшего угла между диагоналями.