Максимум нулей в жазбалар
Значение арифметического выражения $7^{170} + 7^{100} - x$, где $x$ — целое положительное число, не превышающее $2030$, записали в $7$-ричной системе счисления. Определите наибольшее значение $x$, при котором количество нулей в $7$-ричной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, максимально.
В ответе запишите число в десятичной системе счисления.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Значение арифметического выражения 7170 + 7100 – x, где x – целое положительное число, не превышающее 2030, записали в 7-ричной системе счисления. Определите наибольшее значение x, при котором количество нулей в 7-ричной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, максимально. В ответе запишите число в десятичной системе счисления. | |||
| |
Формат: өлшем бірліктері жоқ сан немесе сөз; бөлшек бөлігін үтірмен бөліңіз.
1Мягкая — с чего смотретьдеңгей 1 из 3
Представьте $x$ как число, меньшее $7^4=2401$, и рассмотрите, как вычитание $x$ влияет на разряды числа $7^{170}+7^{100}$.
2Жетекші — қандай сандарды есептеудеңгей 2 из 3
После заимствования из разряда $7^{100}$ в разрядах от $7^{99}$ до $7^4$ появятся цифры $6$. Дополнительные нули определяются записью числа $2401-x$.
3Тікелей — іс жүзінде шешімдеңгей 3 из 3
Чтобы получить три нуля в четырёхразрядной записи числа $2401-x$, возьмите минимальное число вида $a\cdot 7^k$, не меньшее $2401-2030=371$. Это $2\cdot 7^3=686$, поэтому $x=2401-686$.